Rozwiązanie
-
Krok 1: Przedstawienie nieparzystej liczby naturalnej $n$ w odpowiedniej postaci.
Każdą nieparzystą liczbę naturalną $n$ można zapisać w postaci:
$$n = 2k + 1$$
gdzie $k \in \mathbb{N}_0$ (czyli $k$ jest nieujemną liczbą całkowitą, $k \geq 0$).
-
Krok 2: Podstawienie do wyrażenia $3n^2 + 2n + 7$.
Zastępujemy $n = 2k+1$ w wyrażeniu $3n^2 + 2n + 7$:
$$3n^2 + 2n + 7 = 3(2k+1)^2 + 2(2k+1) + 7$$
-
Krok 3: Rozwinięcie i uproszczenie wyrażenia.
Obliczamy kolejno:
$$(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$$
Zatem:
$$3(2k+1)^2 = 3(4k^2 + 4k + 1) = 12k^2 + 12k + 3$$
$$2(2k+1) = 4k + 2$$
Sumując wszystkie składniki:
$$3n^2 + 2n + 7 = 12k^2 + 12k + 3 + 4k + 2 + 7$$
$$= 12k^2 + 16k + 12$$
-
Krok 4: Wyłączenie liczby $4$ przed nawias.
Z każdego składnika wyłączamy $4$:
$$12k^2 + 16k + 12 = 4(3k^2 + 4k + 3)$$
-
Krok 5: Sformułowanie wniosku.
Ponieważ $k \in \mathbb{N}_0$, wyrażenie $3k^2 + 4k + 3$ jest liczbą całkowitą nieujemną. Zatem:
$$3n^2 + 2n + 7 = 4 \cdot (3k^2 + 4k + 3)$$
co oznacza, że $3n^2 + 2n + 7$ jest iloczynem liczby $4$ i pewnej liczby naturalnej.
Wniosek końcowy: Dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ wyrażenie $3n^2 + 2n + 7$ przyjmuje postać $4(3k^2 + 4k + 3)$, gdzie $k \in \mathbb{N}_0$, a więc jest podzielne przez $4$. $\blacksquare$
