Rozwiązanie
-
Krok 1: Analiza struktury równania
Dane równanie ma postać iloczynu:
$$2x(x+3)(x^2+25) = 0$$
Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. Rozpatrzymy każdy czynnik osobno.
-
Krok 2: Czynnik pierwszy — $2x = 0$
$$2x = 0 \implies x = 0$$
Otrzymujemy jedno rozwiązanie rzeczywiste: $x = 0$.
-
Krok 3: Czynnik drugi — $x + 3 = 0$
$$x + 3 = 0 \implies x = -3$$
Otrzymujemy jedno rozwiązanie rzeczywiste: $x = -3$.
-
Krok 4: Czynnik trzeci — $x^2 + 25 = 0$
$$x^2 + 25 = 0 \implies x^2 = -25$$
Ponieważ $x^2 \geq 0$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$, równanie $x^2 = -25$ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Wartości $x = 5$ oraz $x = -5$ nie są rozwiązaniami, ponieważ:
$$5^2 + 25 = 25 + 25 = 50 \neq 0$$
$$(-5)^2 + 25 = 25 + 25 = 50 \neq 0$$
-
Krok 5: Zebranie rozwiązań
Równanie $2x(x+3)(x^2+25) = 0$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie dwa rozwiązania: $x = -3$ oraz $x = 0$.
-
Krok 6: Ocena odpowiedzi
- Odpowiedź A) — POPRAWNA: dwa rozwiązania $x = -3$ oraz $x = 0$ — zgodne z naszymi obliczeniami.
- Odpowiedź B) — BŁĘDNA: podaje $x = 2$ jako rozwiązanie, ale $2x(2+3)(4+25) = 4 \cdot 5 \cdot 29 = 580 \neq 0$.
- Odpowiedź C) — BŁĘDNA: podaje $x = -5$ jako rozwiązanie, lecz $(-5)^2 + 25 = 50 \neq 0$, więc $x = -5$ nie zeruje wyrażenia.
- Odpowiedź D) — BŁĘDNA: podaje cztery rozwiązania, w tym $x = -5$ i $x = 5$, które nie są rozwiązaniami rzeczywistymi z tego samego powodu co w odpowiedzi C.
Wynik końcowy: Równanie $2x(x+3)(x^2+25) = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie dwa rozwiązania: $x = -3$ oraz $x = 0$.
Odpowiedź: A
