Aby wyznaczyć równanie okręgu $\mathcal{O}$, potrzebujemy jego środka i promienia. Środek jest dany: $S = (2, 4)$. Promień wyznaczamy z warunku, że punkt $P = (0, 0)$ leży na okręgu.
-
Krok 1: Wyznaczenie promienia okręgu
Promień $r$ okręgu jest równy odległości od środka $S = (2, 4)$ do punktu $P = (0, 0)$ leżącego na okręgu:
$$r = |SP| = \sqrt{(2-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$$
Zatem $r = \sqrt{20}$, a więc $r^2 = 20$.
-
Krok 2: Zapisanie równania okręgu
Ogólne równanie okręgu o środku $(a, b)$ i promieniu $r$ ma postać:
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$
Podstawiając $a = 2$, $b = 4$ oraz $r^2 = 20$, otrzymujemy:
$$(x-2)^2 + (y-4)^2 = 20$$
-
Krok 3: Weryfikacja — sprawdzenie, czy punkt $P = (0,0)$ spełnia równanie
Podstawiamy $x = 0$, $y = 0$:
$$(0-2)^2 + (0-4)^2 = 4 + 16 = 20 \checkmark$$
Punkt $P$ rzeczywiście leży na okręgu.
-
Krok 4: Analiza wszystkich odpowiedzi
Odpowiedź A: $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 2\sqrt{5}$
Środek $(2, 4)$ jest poprawny, ale prawa strona wynosi $2\sqrt{5} \approx 4{,}47$, podczas gdy powinna wynosić $r^2 = 20$. Błąd polega na wstawieniu $r$ zamiast $r^2$ (bo $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$). Odpowiedź błędna.
Odpowiedź B: $(x+2)^2 + (y+4)^2 = 2\sqrt{5}$
Środek okręgu wynosiłby $(-2, -4)$, co jest niezgodne z treścią zadania. Dodatkowo prawa strona jest błędna z tego samego powodu co w odpowiedzi A. Odpowiedź błędna.
Odpowiedź C: $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 20$
Środek $(2, 4)$ jest poprawny, $r^2 = 20$ jest poprawne. Odpowiedź poprawna.
Odpowiedź D: $(x+2)^2 + (y+4)^2 = 20$
Środek okręgu wynosiłby $(-2, -4)$, co jest niezgodne z treścią zadania ($S = (2,4)$). Prawa strona $r^2 = 20$ jest wprawdzie liczbowo poprawna, ale cały wzór opisuje zupełnie inny okrąg. Odpowiedź błędna.
Wynik końcowy:
Poprawna odpowiedź to C. Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem:
$$\boxed{(x-2)^2 + (y-4)^2 = 20}$$