Rozwiązanie
-
Krok 1: Warunek równoległości dwóch prostych
Dwie proste są równoległe (i różne), gdy mają równe współczynniki kierunkowe oraz różne wyrazy wolne.
Dla prostych w postaci $y = a_1x + b_1$ oraz $y = a_2x + b_2$ warunek równoległości to:
$$a_1 = a_2 \quad \text{oraz} \quad b_1 \neq b_2$$
-
Krok 2: Odczytanie współczynników kierunkowych
Prosta $k: y = (m-2)x + 5$ ma współczynnik kierunkowy $a_1 = m - 2$.
Prosta $l: y = -4x + (m+3)$ ma współczynnik kierunkowy $a_2 = -4$.
-
Krok 3: Przyrównanie współczynników kierunkowych
Z warunku równoległości $a_1 = a_2$:
$$m - 2 = -4$$
$$m = -4 + 2$$
$$m = -2$$
-
Krok 4: Sprawdzenie, czy proste nie są tożsame
Dla $m = -2$ obliczamy wyrazy wolne obu prostych:
- Prosta $k$: wyraz wolny $b_1 = 5$
- Prosta $l$: wyraz wolny $b_2 = m + 3 = -2 + 3 = 1$
Ponieważ $b_1 = 5 \neq 1 = b_2$, proste są rzeczywiście równoległe (a nie tożsame). ✓
-
Krok 5: Analiza odpowiedzi
Odpowiedź A) $m = -2$ — POPRAWNA. Dla $m = -2$ współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi $-2 - 2 = -4$, co jest równe współczynnikowi kierunkowemu prostej $l$, a wyrazy wolne są różne ($5 \neq 1$), więc proste są równoległe.
Odpowiedź B) $m = 2$ — BŁĘDNA. Dla $m = 2$ współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi $2 - 2 = 0 \neq -4$. Proste nie są równoległe.
Odpowiedź C) $m = -4$ — BŁĘDNA. Dla $m = -4$ współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi $-4 - 2 = -6 \neq -4$. Proste nie są równoległe. (Uwaga: $m = -4$ myli się z wartością współczynnika kierunkowego prostej $l$.)
Odpowiedź D) $m = 5$ — BŁĘDNA. Dla $m = 5$ współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi $5 - 2 = 3 \neq -4$. Proste nie są równoległe. (Uwaga: $m = 5$ myli się z wyrazem wolnym prostej $k$.)
Wynik końcowy:
Proste $k$ i $l$ są równoległe dla $m = -2$.
$$\boxed{m = -2}$$
Odpowiedź: A