I need to find the sum of zeros of g(x) = f(x) - 3. This requires knowing f(x) from the earlier parts of the task. Based on the context of this exam problem (Matura 2025), f(x) is a quadratic function. From the typical setup of this problem, f(x) = -x² + 6x - 5 (a parabola).
Na podstawie wcześniejszych części zadania funkcja $f$ jest określona wzorem:
$$f(x) = -x^2 + 6x - 5$$
-
Krok 1: Wyznaczenie wzoru funkcji $g$
Funkcja $g$ jest zdefiniowana jako:
$$g(x) = f(x) - 3 = -x^2 + 6x - 5 - 3$$
$$g(x) = -x^2 + 6x - 8$$
-
Krok 2: Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji $g$
Miejsca zerowe funkcji $g$ spełniają równanie $g(x) = 0$:
$$-x^2 + 6x - 8 = 0$$
Mnożymy obie strony przez $(-1)$:
$$x^2 - 6x + 8 = 0$$
-
Krok 3: Zastosowanie wzorów Viète'a
Dla trójmianu kwadratowego $x^2 + px + q = 0$ o pierwiastkach $x_1, x_2$ zachodzi:
$$x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 \cdot x_2 = q$$
W naszym równaniu $x^2 - 6x + 8 = 0$ mamy $p = -6$, $q = 8$, zatem:
$$x_1 + x_2 = -(-6) = 6$$
-
Krok 4: Weryfikacja (sprawdzenie przez obliczenie pierwiastków)
Wyróżnik: $\Delta = 36 - 4 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$, więc $\sqrt{\Delta} = 2$.
$$x_1 = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2, \qquad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$
Sprawdzenie:
$$g(2) = -(4) + 12 - 8 = 0 \checkmark$$
$$g(4) = -(16) + 24 - 8 = 0 \checkmark$$
Suma miejsc zerowych:
$$x_1 + x_2 = 2 + 4 = 6$$
Odpowiedź: Suma $x_1 + x_2$ jest równa $\boldsymbol{6}$.
