Rozwiązanie
Funkcja liniowa $f(x) = (3-m)x - 4$ może nie mieć miejsca zerowego tylko w szczególnym przypadku — gdy przestaje być funkcją liniową i staje się funkcją stałą.
-
Krok 1: Kiedy funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego?
Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ posiada dokładnie jedno miejsce zerowe, gdy $a \neq 0$. Wyjątek stanowi sytuacja, gdy $a = 0$ — wtedy funkcja jest stała i:
- nie ma miejsca zerowego, jeśli $b \neq 0$,
- każde $x$ jest miejscem zerowym, jeśli $b = 0$.
-
Krok 2: Wyznaczenie wartości $m$, dla której współczynnik kierunkowy wynosi 0
W naszej funkcji współczynnik kierunkowy to $(3 - m)$. Przyrównujemy go do zera:
$$3 - m = 0 \implies m = 3$$
Dla $m = 3$ funkcja przyjmuje postać:
$$f(x) = 0 \cdot x - 4 = -4$$
-
Krok 3: Sprawdzenie, czy funkcja stała ma miejsce zerowe
Dla $m = 3$ mamy $f(x) = -4$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$. Funkcja ta nigdy nie przyjmuje wartości $0$, ponieważ $-4 \neq 0$.
Zatem funkcja $f$ nie ma miejsca zerowego dla $m = 3$.
-
Krok 4: Weryfikacja pozostałych odpowiedzi
Odpowiedź A) $m = 0$: Współczynnik kierunkowy wynosi $3 - 0 = 3 \neq 0$, więc $f$ jest funkcją liniową. Miejsce zerowe istnieje: $f(x) = 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$. ❌
Odpowiedź C) $m = 4$: Współczynnik kierunkowy wynosi $3 - 4 = -1 \neq 0$, więc $f$ jest funkcją liniową. Miejsce zerowe istnieje: $f(x) = -x - 4 = 0 \Rightarrow x = -4$. ❌
Odpowiedź D) $m = -3$: Współczynnik kierunkowy wynosi $3 - (-3) = 6 \neq 0$, więc $f$ jest funkcją liniową. Miejsce zerowe istnieje: $f(x) = 6x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$. ❌
Odpowiedź: B) $m = 3$
Dla $m = 3$ funkcja przyjmuje postać $f(x) = -4$, czyli jest funkcją stałą różną od zera — nie posiada miejsca zerowego.
