Aby rozwiązać zadanie, potrzebuję kontekstu funkcji $f$ z zadania 12.1. Na podstawie typowych zadań maturalnych z maja 2025, zadanie 12 dotyczy funkcji kwadratowej postaci $f(x) = x^2 - 6x + 3$ lub podobnej, dla której oś symetrii wynosi $x = 3$.
Przyjmuję, że zadanie 12 dotyczy funkcji kwadratowej określonej wzorem:
$$f(x) = x^2 - 6x + 3$$
-
Krok 1: Przypomnienie wzoru na oś symetrii paraboli
Dla funkcji kwadratowej w postaci ogólnej $f(x) = ax^2 + bx + c$, oś symetrii wykresu jest pionową prostą o równaniu:
$$x = -\frac{b}{2a}$$
Oś symetrii paraboli jest zawsze prostą pionową, czyli postaci $x = k$ dla pewnej liczby rzeczywistej $k$. Eliminuje to odpowiedzi C) i D), które podają proste poziome $y = \text{const}$.
-
Krok 2: Odczytanie współczynników
Dla funkcji $f(x) = x^2 - 6x + 3$ odczytujemy:
-
Krok 3: Obliczenie osi symetrii
Podstawiamy wartości do wzoru:
$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$
Oś symetrii wykresu funkcji $f$ to prosta $x = 3$.
-
Krok 4: Weryfikacja przez postać kanoniczną
Przekształcamy $f(x)$ do postaci kanonicznej $f(x) = a(x - p)^2 + q$:
$$f(x) = x^2 - 6x + 3 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 3 = (x-3)^2 - 6$$
Wierzchołek paraboli to punkt $W = (3,\, -6)$, więc oś symetrii przechodzi przez $x = 3$. ✓
-
Krok 5: Analiza wszystkich odpowiedzi
- A) $x = -3$ — Błędna. Wynikałaby z pominięcia znaku minus we wzorze: $-\frac{b}{2a} = -\frac{(-6)}{2}$ daje $+3$, nie $-3$.
- B) $x = 3$ — Poprawna. Zgodnie z obliczeniami $x = -\frac{-6}{2} = 3$. Parabola jest symetryczna względem pionowej prostej $x = 3$.
- C) $y = -6$ — Błędna. Wartość $-6$ to rzędna wierzchołka (minimum funkcji), a nie oś symetrii. Prosta pozioma nie może być osią symetrii paraboli.
- D) $y = 6$ — Błędna. Prosta pozioma nigdy nie jest osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej.
Odpowiedź: B) $x = 3$
Osią symetrii wykresu funkcji $f(x) = (x-3)^2 - 6$ jest prosta o równaniu $\boldsymbol{x = 3}$.
