Zadanie 7 Matura z matematyki 2025 — podstawowy, arkusz B

Rozwiązanie

1. Krok 1: Zastosowanie własności iloczynu

   Równanie ma postać iloczynu czynników równego zero:

   $$2x(x+3)(x^2+25) = 0$$

   Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Rozpatrujemy każdy czynnik osobno.

2. Krok 2: Analiza pierwszego czynnika $$2x = 0 \implies x = 0$$

   Pierwsze rozwiązanie: $x = 0$.

3. Krok 3: Analiza drugiego czynnika $$x + 3 = 0 \implies x = -3$$

   Drugie rozwiązanie: $x = -3$.

4. Krok 4: Analiza trzeciego czynnika $$x^2 + 25 = 0 \implies x^2 = -25$$

   Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi $x^2 \geq 0$, wyrażenie $x^2 + 25 \geq 25 > 0$. Równanie $x^2 = -25$ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

5. Krok 5: Podsumowanie rozwiązań

   Równanie $2x(x+3)(x^2+25) = 0$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie dwa rozwiązania: $x = -3$ oraz $x = 0$.

Ocena odpowiedzi

• Odpowiedź A) — POPRAWNA. Dwa rozwiązania: $x = -3$ oraz $x = 0$, co wynika bezpośrednio z analizy powyżej.
• Odpowiedź B) — BŁĘDNA. Liczba $x = 2$ nie jest rozwiązaniem, gdyż $2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 29 = 580 \neq 0$. Błąd polega na nieprawidłowym wyznaczeniu drugiego rozwiązania.
• Odpowiedź C) — BŁĘDNA. Liczba $x = -5$ nie jest rozwiązaniem, gdyż $(-5)^2 + 25 = 25 + 25 = 50 \neq 0$. Błąd polega na próbie rozwiązania $x^2 + 25 = 0$ w sposób nieuwzględniający dziedziny liczb rzeczywistych (pomylenie z $x^2 - 25 = 0$).
• Odpowiedź D) — BŁĘDNA. Ani $x = -5$, ani $x = 5$ nie są rozwiązaniami w zbiorze $\mathbb{R}$, z tego samego powodu co w odpowiedzi C. Czynnik $x^2 + 25$ jest zawsze dodatni dla $x \in \mathbb{R}$.

Odpowiedź: A