Rozwiązanie
-
Krok 1: Rozwinięcie nawiasów po lewej stronie nierówności
Zaczynamy od lewej strony nierówności:
$$3 - 2(1 - 2x) = 3 - 2 + 4x = 1 + 4x$$
Nierówność przyjmuje postać:
$$1 + 4x \geq 2x - 17$$
-
Krok 2: Przeniesienie wyrazów z $x$ na lewą stronę
Odejmujemy $2x$ od obu stron:
$$1 + 4x - 2x \geq -17$$
$$1 + 2x \geq -17$$
-
Krok 3: Przeniesienie wyrazów wolnych na prawą stronę
Odejmujemy $1$ od obu stron:
$$2x \geq -17 - 1$$
$$2x \geq -18$$
-
Krok 4: Wyznaczenie wartości $x$
Dzielimy obie strony przez $2$ (liczba dodatnia — znak nierówności nie zmienia się):
$$x \geq -9$$
Zbiór rozwiązań nierówności to przedział $\boldsymbol{[-9, +\infty)}$.
-
Krok 5: Analiza odpowiedzi
Odpowiedź A — $(-\infty, 3]$: Błędna. Wynik $x \geq -9$ nie ogranicza rozwiązań od góry. Ponadto liczba $3$ nie pojawia się w obliczeniach jako granica rozwiązania.
Odpowiedź B — $[3, +\infty)$: Błędna. Wynik wskazuje na granicę $-9$, a nie $3$. Błąd ten mógłby powstać przez niepoprawne uproszczenie wyrażenia po lewej stronie (np. pominięcie rozwinięcia nawiasu).
Odpowiedź C — $(-\infty, -9]$: Błędna. Granica $-9$ jest poprawna, ale znak nierówności jest odwrócony — poprawny zbiór rozwiązań to $x \geq -9$, a nie $x \leq -9$. Błąd ten mógłby powstać przez niepoprawne dzielenie przez liczbę ujemną lub błędne przeniesienie wyrazu.
Odpowiedź D — $[-9, +\infty)$: Poprawna. Granica $-9$ wynika bezpośrednio z obliczeń ($2x \geq -18 \Rightarrow x \geq -9$), a przedział jest domknięty od lewej (znak $\geq$) i nieograniczony od prawej.
Wynik końcowy:
Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność to:
$$x \in [-9, +\infty)$$
Na osi liczbowej zaznaczamy punkt $-9$ jako domknięty (wypełnione kółko) i zaciemniamy strzałkę w prawo (w kierunku $+\infty$).
Odpowiedź: D
