Zadanie 8 – upraszczamy dane wyrażenie algebraiczne.
-
Krok 1 – Rozkładamy liczniki i mianowniki na czynniki.
Licznik pierwszego ułamka:
$$x^2 + x = x(x+1)$$
Mianownik pierwszego ułamka (pełny kwadrat):
$$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$$
Drugie wyrażenie pozostaje bez zmian: $\dfrac{x+2}{x}$.
Całe wyrażenie przyjmuje postać:
$$\frac{x(x+1)}{(x+2)^2} \cdot \frac{x+2}{x}$$
-
Krok 2 – Skracamy czynniki wspólne.
W liczniku mamy $x(x+1)(x+2)$, w mianowniku $(x+2)^2 \cdot x$.
Skracamy $x$ (możliwe, bo $x \neq 0$) oraz jeden czynnik $(x+2)$ (możliwe, bo $x \neq -2$):
$$\frac{\cancel{x}(x+1)\cancel{(x+2)}}{(x+2)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{x}} = \frac{x+1}{x+2}$$
-
Krok 3 – Weryfikacja i analiza odpowiedzi.
Otrzymany wynik to $\dfrac{x+1}{x+2}$, co odpowiada odpowiedzi B.
- Odpowiedź A) $\dfrac{2x}{x+2}$ – błędna. Taki wynik powstałby, gdyby niepoprawnie zsumowano lub przekształcono liczniki, ignorując właściwy rozkład $x^2+x = x(x+1)$.
- Odpowiedź B) $\dfrac{x+1}{x+2}$ – poprawna. Po rozłożeniu na czynniki i skróceniu $x$ oraz $(x+2)$ dokładnie ten wynik otrzymujemy.
- Odpowiedź C) $\dfrac{x+1}{4x+5}$ – błędna. Mianownik $4x+5$ nie pojawia się w żadnym etapie poprawnego przekształcenia; mógłby powstać wskutek błędnego dodawania mianowników.
- Odpowiedź D) $\dfrac{x+2}{4x+4}$ – błędna. Mianownik $4x+4 = 4(x+1)$ nie wynika z poprawnego upraszczania; prawdopodobnie pochodzi z błędnego mnożenia lub dodawania mianowników.
Wynik końcowy:
$$\frac{x^2+x}{x^2+4x+4}\cdot\frac{x+2}{x} = \frac{x+1}{x+2}$$
Prawidłowa odpowiedź to B) $\dfrac{x+1}{x+2}$.
