Krok 1 — suma $n$ początkowych wyrazów:

$$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^{\,n}}{1-q}$$

Krok 2 — przechodzimy do granicy $n\to\infty$. Ponieważ $|q|<1$, mamy $q^{\,n}\to0$:

$$S=\lim_{n\to\infty}S_n=a_1\cdot\frac{1-0}{1-q}=\frac{a_1}{1-q} \qquad ∎$$

Kluczowy moment. To warunek $|q|<1$ sprawia, że $q^n$ znika w granicy. Dla $|q|\ge1$ potęga nie dąży do zera i szereg jest rozbieżny.

Sprawdzenie: dla $a_1=8$, $q=\frac12$: $S=\frac{8}{1-\frac12}=16$ — zgadza się z zadaniem 2 ✔