Krok 1 — obliczamy trzy prawdopodobieństwa. Przyjmijmy sukces $p$, porażkę $q=1-p$:
$$P_2(0)=\binom{2}{0}p^0 q^2=q^2$$
$$P_2(1)=\binom{2}{1}p^1 q^1=2pq$$
$$P_2(2)=\binom{2}{2}p^2 q^0=p^2$$
Krok 2 — sumujemy:
$$q^2+2pq+p^2$$
Krok 3 — rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:
$$q^2+2pq+p^2=(p+q)^2$$
Krok 4 — korzystamy z $p+q=1$:
$$(p+q)^2=1^2=1 \qquad ∎$$
Uogólnienie. Dla dowolnego $n$ suma wszystkich $P_n(k)$ to rozwinięcie $(p+q)^n=1$ — to właśnie dwumian Newtona. Przypadek $n=2$ jest jego najprostszą ilustracją.
Sprawdzenie dla $p=\frac12$: $\frac14+2\cdot\frac14+\frac14=\frac14+\frac12+\frac14=1$ ✔