Krok 1 — założenie. Niech $x_1>0$ i $x_2>0$ będą pierwiastkami równania.

Krok 2 — iloczyn. Ze wzoru Viète'a $x_1 x_2=c$. Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni:

$$c=x_1 x_2>0 \qquad ✔$$

Krok 3 — suma. Ze wzoru $x_1+x_2=-b$. Suma dwóch liczb dodatnich jest dodatnia:

$$-b=x_1+x_2>0 \quad\Rightarrow\quad b<0 \qquad ✔$$

Krok 4 — wniosek. Otrzymaliśmy $c>0$ oraz $b<0$. $\qquad ∎$

Uwaga. To warunek konieczny, ale nie wystarczający — sam znak współczynników nie gwarantuje istnienia pierwiastków. Trzeba jeszcze $\Delta\ge0$. Przykład: $x^2-2x+5=0$ ma $b<0$, $c>0$, ale $\Delta<0$ i nie ma pierwiastków rzeczywistych.