Krok 1 — wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$:
$$h=\frac{a\sqrt3}{2}$$
Krok 2 — kluczowa własność. W trójkącie równobocznym środek okręgu wpisanego i opisanego to ten sam punkt — przecięcie wysokości, które dzieli każdą z nich w stosunku $2:1$ licząc od wierzchołka.
Krok 3 — promienie jako części wysokości:
$$R=\frac23 h=\frac{a\sqrt3}{3},\qquad r=\frac13 h=\frac{a\sqrt3}{6}$$
Krok 4 — stosunek:
$$\frac{R}{r}=\frac{2/3}{1/3}=2 \qquad ∎$$
Konsekwencja dla pól. Pola kół zależą od kwadratu promienia, więc:
$$\frac{P_R}{P_r}=\left(\frac{R}{r}\right)^2=4$$
Koło opisane ma czterokrotnie większe pole niż wpisane.
Sprawdzenie: dla $a=6$ mamy $R=2\sqrt3$ oraz $r=\sqrt3$, a pola kół to $12\pi$ i $3\pi$ — stosunek wynosi $4$ ✔