Każdy punkt symetralnej boku jest jednakowo oddalony od jego końców, więc punkt przecięcia wszystkich trzech symetralnych jest równo oddalony od wszystkich wierzchołków.

Dla porównania: środek okręgu wpisanego leży na przecięciu dwusiecznych kątów.

Odpowiedź: C. symetralnych boków.

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{36+64}=10$$

Krok 2 — promień. W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej:

$$R=\frac{10}{2}=5$$

Dlaczego tak: kąt oparty na średnicy jest prosty — to twierdzenie Talesa czytane wstecz.

Odpowiedź: $R=5$.

W trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego dzieli wysokość w stosunku $2:1$ od wierzchołka:

$$R=\frac{a\sqrt3}{3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3\approx3{,}46$$

Odpowiedź: $R=2\sqrt3$.

Wysokość trójkąta równobocznego to $\frac{a\sqrt3}{2}$, a środek okręgu wpisanego dzieli ją w stosunku $2:1$ — promień to jedna trzecia wysokości:

$$r=\frac13\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{6}$$

Zależność warta zapamiętania: $R=2r$ — promień okręgu opisanego jest dokładnie dwa razy większy.

Odpowiedź: A. $\frac{a\sqrt3}{6}$.

W czworokącie wpisanym w okrąg przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$:

$$180^\circ-75^\circ=105^\circ$$

Odpowiedź: $105^\circ$.

Warunek wpisania okręgu:

$$a+c=b+d$$

Warunek opisania okręgu (odpowiedź A) dotyczy kątów, nie boków — to dwa różne twierdzenia i łatwo je pomylić.

Przykład: w romb zawsze można wpisać okrąg, bo wszystkie boki są równe, więc $a+c=b+d$ automatycznie.

Odpowiedź: D. sumy przeciwległych boków są równe.

Krok 1 — wzór na promień okręgu wpisanego:

$$r=\frac{P}{p},\qquad \text{gdzie } p \ \text{to połowa obwodu}$$

Krok 2 — połowa obwodu:

$$p=\frac{6+8+10}{2}=12$$

Krok 3 — promień:

$$r=\frac{24}{12}=2$$

Skąd ten wzór: łącząc środek okręgu z wierzchołkami, dzielimy trójkąt na trzy mniejsze o wysokości $r$. Suma ich pól daje $\frac{r\cdot O}{2}=rp$.

Odpowiedź: $r=2$.

Krok 1 — warunek:

$$x+3x=180^\circ$$

Krok 2 — rozwiązanie:

$$4x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=45^\circ$$

Krok 3 — oba kąty:

$$45^\circ \quad\text{oraz}\quad 135^\circ$$

Sprawdzenie: $45+135=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $45^\circ$ i $135^\circ$.

W prostokącie wszystkie kąty mają $90^\circ$, więc przeciwległe sumują się do $180^\circ$ — warunek jest spełniony.

Środkiem tego okręgu jest punkt przecięcia przekątnych, a promieniem — połowa przekątnej.

Dlaczego nie romb: jego kąty przeciwległe są równe, a nie dopełniające się. Warunek zachodzi tylko wtedy, gdy każdy ma $90^\circ$ — czyli gdy romb jest kwadratem.

Odpowiedź: B. na prostokącie.

Okrąg opisany. Przechodzi przez wierzchołki, więc jego średnica to przekątna kwadratu:

$$2R=8\sqrt2 \quad\Rightarrow\quad R=4\sqrt2\approx5{,}66$$

Okrąg wpisany. Dotyka boków, więc jego średnica równa się bokowi:

$$2r=8 \quad\Rightarrow\quad r=4$$

Stosunek: $\frac{R}{r}=\sqrt2$ — i tak jest w każdym kwadracie.

Odpowiedź: $R=4\sqrt2$, $r=4$.

Przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego, więc promień to jej połowa.

Uzasadnienie: kąt wpisany oparty na średnicy ma $90^\circ$, a w naszym trójkącie taki kąt istnieje.

Odpowiedź: A. $\frac{c}{2}$.

Sprawdzamy warunek $a+c=b+d$:

$$5+9=14,\qquad 7+11=18$$

$$14\neq18$$

Warunek nie jest spełniony.

Uwaga na kolejność boków. Sumujemy boki przeciwległe, a nie sąsiednie. Gdyby boki ustawić jako $5$, $7$, $11$, $9$, to $5+11=16$ i $7+9=16$ — wtedy okrąg dałoby się wpisać.

Odpowiedź: nie, warunku nie spełnia.

Krok 1 — okrąg opisany:

$$R=\frac{12\sqrt3}{3}=4\sqrt3$$

Krok 2 — okrąg wpisany:

$$r=\frac{12\sqrt3}{6}=2\sqrt3$$

Krok 3 — stosunek promieni:

$$\frac{R}{r}=2$$

Krok 4 — stosunek pól. Pola kół mają się jak kwadraty promieni:

$$\left(\frac{R}{r}\right)^2=4$$

Odpowiedź: $R=4\sqrt3$, $r=2\sqrt3$; pole koła opisanego jest czterokrotnie większe.

Sprawdzamy warunek dla sum przeciwległych boków:

$$4+10=14,\qquad 7+7=14$$

Sumy są równe, więc okrąg da się wpisać.

Uwaga: sama równoramienność nie wystarcza — decyduje wyłącznie warunek liczbowy na boki.

Odpowiedź: C. tak, bo $4+10=7+7$.

Korzystamy z zależności $P=r\cdot p$, gdzie $p$ to połowa obwodu:

$$p=\frac{30}{2}=15$$

$$P=4\cdot15=60$$

Odpowiedź: $P=60$.

Średnica wyznacza kąt środkowy $180^\circ$, a kąt wpisany jest jego połową:

$$\frac{180^\circ}{2}=90^\circ$$

To twierdzenie Talesa — kluczowe przy rozpoznawaniu trójkątów prostokątnych wpisanych w okrąg.

Odpowiedź: B. $90^\circ$.

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{25+144}=13$$

Krok 2 — okrąg opisany:

$$R=\frac{13}{2}=6{,}5$$

Krok 3 — pole trójkąta:

$$P=\frac{5\cdot12}{2}=30$$

Krok 4 — okrąg wpisany. Połowa obwodu wynosi $\frac{5+12+13}{2}=15$:

$$r=\frac{30}{15}=2$$

Kontrola wzorem dla trójkąta prostokątnego: $r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{5+12-13}{2}=2$ ✔

Odpowiedź: $r=2$, $R=6{,}5$.

Krok 1 — suma kątów czworokąta:

$$x+2x+3x+4x=360^\circ \quad\Rightarrow\quad 10x=360^\circ \quad\Rightarrow\quad x=36^\circ$$

Krok 2 — kąty:

$$36^\circ,\quad 72^\circ,\quad 108^\circ,\quad 144^\circ$$

Krok 3 — sprawdzenie warunku wpisania w okrąg. Przeciwległe kąty muszą sumować się do $180^\circ$. W czworokącie kąty przeciwległe to pierwszy z trzecim i drugi z czwartym:

$$36^\circ+108^\circ=144^\circ \neq 180^\circ$$

Uwaga metodyczna. Poprawna suma $360^\circ$ to warunek konieczny dla każdego czworokąta, ale nie wystarczający do wpisania w okrąg.

Odpowiedź: kąty to $36^\circ$, $72^\circ$, $108^\circ$ i $144^\circ$, ale taki czworokąt nie może być wpisany w okrąg.

Krok 1 — wzór wiążący boki, pole i promień:

$$R=\frac{abc}{4P}$$

Krok 2 — iloczyn boków:

$$7\cdot8\cdot9=504$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$R=\frac{504}{4\cdot12\sqrt5}=\frac{504}{48\sqrt5}=\frac{21}{2\sqrt5}$$

Krok 4 — usuwamy niewymierność:

$$R=\frac{21\sqrt5}{10}\approx4{,}70$$

Kontrola sensu: promień okręgu opisanego musi być większy od połowy najdłuższego boku ($4{,}5$) — i jest ✔

Odpowiedź: $R=\frac{21\sqrt5}{10}\approx4{,}7$.

Krok 1 — wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$:

$$h=\frac{a\sqrt3}{2}$$

Krok 2 — kluczowa własność. W trójkącie równobocznym środek okręgu wpisanego i opisanego to ten sam punkt — przecięcie wysokości, które dzieli każdą z nich w stosunku $2:1$ licząc od wierzchołka.

Krok 3 — promienie jako części wysokości:

$$R=\frac23 h=\frac{a\sqrt3}{3},\qquad r=\frac13 h=\frac{a\sqrt3}{6}$$

Krok 4 — stosunek:

$$\frac{R}{r}=\frac{2/3}{1/3}=2 \qquad ∎$$

Konsekwencja dla pól. Pola kół zależą od kwadratu promienia, więc:

$$\frac{P_R}{P_r}=\left(\frac{R}{r}\right)^2=4$$

Koło opisane ma czterokrotnie większe pole niż wpisane.

Sprawdzenie: dla $a=6$ mamy $R=2\sqrt3$ oraz $r=\sqrt3$, a pola kół to $12\pi$ i $3\pi$ — stosunek wynosi $4$ ✔