Krok 1 — uprośćmy wzór:

$$a_n=\frac{2n}{n}+\frac{1}{n}=2+\frac{1}{n}$$

Krok 2 — obserwacja. Składnik $2$ jest stały, a $\frac1n$ maleje wraz ze wzrostem $n$.

Krok 3 — formalnie:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n-(n+1)}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n+1)}<0$$

Mianownik jest dodatni, licznik ujemny, więc różnica jest ujemna dla każdego $n$. ∎

Sprawdzenie: $3$; $2{,}5$; $2\frac13$; $2{,}25$ — faktycznie maleje i zbliża się do $2$ ✔