Metoda — szacowanie od dołu. Dla każdego rzeczywistego $x$ zachodzi:

$$x^4\ge 0 \qquad\text{oraz}\qquad x^2\ge 0$$

Zatem:

$$W(x)=x^4+x^2+1\ge 0+0+1=1>0$$

Wielomian przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, więc nigdy nie osiąga zera. Nie ma zatem pierwiastków rzeczywistych. ∎

Uwaga: w zadaniach „wykaż, że” sprawdzenie kilku liczb nie jest dowodem — potrzebne jest oszacowanie prawdziwe dla każdego $x$.