Zadanie 25 Matura podstawowa — matematyka, maj 2024 — arkusz z rozwiązaniami

Rozwiązanie 1.
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Pole sześciokąta obliczamy ze wzoru \(P=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) (czyli jest to po prostu sześć trójkątów równobocznych). Skoro więc to pole jest równe \(15\sqrt{3}\), to:
$$6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=15\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot4$$ $$6\cdot(a^2\sqrt{3})=60\sqrt{3} \quad\bigg/:6$$ $$a^2\sqrt{3}=10\sqrt{3}$$ $$a^2=10$$ $$a=\sqrt{10} \quad\lor\quad a=-\sqrt{10}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(a=\sqrt{10}\).

Krok 2. Obliczenie pola jednej ściany bocznej.
Interesująca nas ściana boczna jest prostokątem o bokach \(a=\sqrt{10}\) oraz \(h=6\), zatem:
$$P=\sqrt{10}\cdot6$$ $$P=6\sqrt{10}$$

Rozwiązanie 2.
Poszukiwany kąt znajduje się na rysunku z czwartej odpowiedzi.