Zadanie 24 Matura podstawowa — matematyka, maj 2024 — arkusz z rozwiązaniami

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości, więc punkt \(P\) jest tym samym środkiem przekątnej \(AC\). To pozwoli nam wyznaczyć współrzędne punktu \(C\).


Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(C\).
Środek odcinka \(AC\) możemy opisać wzorem:
$$P=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$

Dla przejrzystości zapisu obliczmy każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{P}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}$$ $$6=\frac{-2+x_{C}}{2}$$ $$12=-2+x_{C}$$ $$x_{C}=14$$ $$\quad$$ $$y_{P}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}$$ $$7=\frac{6+y_{C}}{2}$$ $$14=6+y_{C}$$ $$y_{C}=8$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(BC\).
Długość boku \(BC\) obliczymy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}$$ $$|BC|=\sqrt{(14-10)^2+(8-2)^2}$$ $$|BC|=\sqrt{4^2+6^2}$$ $$|BC|=\sqrt{16+36}$$ $$|BC|=\sqrt{52}=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}$$