Zadanie 27 Zbiór zadań maturalnych - CKE (Formuła 2023) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. W tym przypadku będzie miała ona ramiona skierowane w dół, ponieważ współczynnik \(a=-2\). Skoro tak, to sytuacja z treści zadania będzie wyglądać w ten oto sposób:

Widzimy, że skrajne argumenty, czyli \(x=-4\) oraz \(x=2\) to miejsca zerowe naszej funkcji i to będzie nasz punkt wyjścia do dalszym obliczeń.

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Jedną z własności osi symetrii jest fakt, iż znajduje się ona dokładnie po środku między miejscami zerowymi. Do jej wyznaczenia możemy więc skorzystać ze średniej arytmetycznej:
$$x=\frac{-4+2}{2}$$ $$x=\frac{-2}{2}$$ $$x=-1$$

Zdanie jest więc fałszem.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Postać iloczynową zapisujemy jako \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\). Ustaliliśmy już, że miejscami zerowymi są \(x_{1}=-4\) oraz \(x_{2}=2\). Wiemy też, że współczynnik \(a=-2\). Skoro tak, to:
$$f(x)=-2(x-(-4))(x-2)$$ $$f(x)=-2(x+4)(x-2)$$

Zdanie jest więc prawdą.