Zadanie 41 Zbiór zadań maturalnych - CKE (Formuła 2023) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Obliczenie długości odcinków \(QR\) oraz \(SR\).
Wiemy, że promień okręgu ma długość \(r=1\). Odcinek \(PQ\) jest średnicą tego okręgu, czyli tym samym możemy zapisać, że:
$$|PQ|=2\cdot1$$ $$|PQ|=2$$

W treści zadania mamy podaną informację, że zachodzi zależność opisana równaniem \(\frac{|PQ|}{|QR|}=\frac{2}{3}\). Skoro więc \(|PQ|=2\), to wniosek z tego płynie taki, iż \(|QR|=3\).

Możemy też już policzyć długość odcinka \(SR\), ponieważ:
$$|SR|=r+|QR|$$ $$|SR|=1+3$$ $$|SR|=4$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(TR\).
Spójrzmy na trójkąt \(STR\). Jest to trójkąt prostokątny, ponieważ z własności stycznych do okręgu wynika, że styczna do okręgu tworzy z promieniem kąt prosty. Skoro tak, to korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
$$|ST|^2+|TR|^2=|SR|^2$$ $$1^2+|TR|^2=4^2$$ $$1+|TR|^2=16$$ $$|TR|^2=15$$ $$|TR|=\sqrt{15} \quad\lor\quad |TR|=-\sqrt{15}$$

Długość odcinka musi być oczywiście dodatnia, stąd też zostaje nam jedynie \(|TR|=\sqrt{15}\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(TU\).
Korzystając z twierdzenia Talesa, możemy zapisać, że:
$$\frac{|TU|}{|TR|}=\frac{|SQ|}{|SR|}$$ $$\frac{|TU|}{\sqrt{15}}=\frac{1}{4}$$ $$|TU|=\frac{\sqrt{15}}{4}$$