Zadanie 18 Przykładowy arkusz CKE 2023 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Kąty przy wierzchołku \(O\) (czyli \(|\sphericalangle AOB|\) oraz \(|\sphericalangle DOC|\)f) są tak zwanymi kątami wierzchołkowymi, a z własności takich kątów wynika, że mają one jednakową miarę. Z treści zadania wiemy też, że kąty \(OAB\) oraz \(OCD\) także mają jednakową miarę. To oznacza, że w tym momencie trójkąty \(ABO\) i \(ODC\) mają już dwie pary jednakowych kątów, zatem i kąty rozwarte w tych trójkątach muszą mieć jednakową miarę. To prowadzi nas do wniosku, że te dwa trójkąty są podobne (cecha kąt-kąt-kąt).

Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa.
Przyjmijmy, że trójkąt \(ABO\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(ODC\) jest trójkątem podobnym. Aby obliczyć skalę podobieństwa, musimy najpierw odnaleźć parę boków odpowiadających. W trójkącie \(ABO\) naprzeciwko kąta rozwartego jest bok o długości \(5\), a w trójkącie \(ODC\) mamy bok o długości \(10\). To oznacza, że skala podobieństwa będzie równa:
$$k=\frac{10}{5}$$ $$k=2$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(OD\).
Bokiem odpowiadającym do boku \(OD\) będzie bok \(BO\) o długości \(3\). Skoro skala podobieństwa jest równa \(k=2\), to bok \(OD\) będzie dwa razy większy od boku \(BO\), czyli:
$$|OD|=2\cdot3$$ $$|OD|=6$$