📄 Treść zadania
Rzucamy jeden raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech \(p_{i}\) oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek podzielnej przez \(i\). Wtedy:
A
\(2p_{4}=p_{2}\)
B
\(2p_{6}=p_{3}\)
C
\(2p_{3}=p_{6}\)
D
\(2p_{2}=p_{4}\)
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro rzucamy jeden raz sześcienną kostką, to znaczy że możemy otrzymać zawsze jeden z sześciu wyników, zatem: \(|Ω|=6\).
Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Patrząc na odpowiedzi potrzebujemy wyznaczyć jedynie \(p_{2}, p_{3}, p_{4}, p_{6}\), zatem poszukujemy jedynie \(A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{6}\):
Gdy \(i=2:\) \(A_{2}=3\) (bo trzy liczby \((2, 4, 6)\) są podzielne przez \(2\))
Gdy \(i=3:\) \(A_{3}=2\) (bo dwie liczby \((3, 6)\) są podzielne przez \(3\))
Gdy \(i=4:\) \(A_{4}=1\) (bo jedna liczba \((4)\) jest podzielna przez \(4\))
Gdy \(i=6:\) \(A_{6}=1\) (bo jedna liczba \((6)\) jest podzielna przez \(6\))
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$p_{2}=\frac{|A_{2}|}{|Ω|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$
$$p_{3}=\frac{|A_{3}|}{|Ω|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$
$$p_{4}=\frac{|A_{4}|}{|Ω|}=\frac{1}{6}$$
$$p_{6}=\frac{|A_{6}|}{|Ω|}=\frac{1}{6}$$
Teraz patrząc na podane odpowiedzi widzimy, że prawidłowa równość zaszła jedynie w drugiej odpowiedzi, bowiem:
$$2p_{6}=p_{3}$$
$$2\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$$
$$\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$
$$L=P$$