📄 Treść zadania
Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) wyrażenie \(sin^4\alpha+sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha\) jest równe:
A
\(sin^2\alpha\)
B
\(sin^6\alpha\cdot cos^2\alpha\)
C
\(sin^4\alpha+1\)
D
\(sin^2\alpha\cdot(sin\alpha+cos\alpha)\cdot(sin\alpha-cos\alpha)\)
Kluczem do sukcesu będzie rozbicie \(sin^4\alpha\) na iloczyn \(sin^2\alpha\cdot sin^2\alpha\). Rozpisując podane wyrażenie, otrzymamy następującą sytuację:
$$sin^4\alpha+sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha= \ ,\
=sin^2\alpha\cdot sin^2\alpha+sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha= \ ,\
=sin^2\alpha\cdot(sin^2\alpha+cos^2\alpha)$$
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2\alpha+cos^2\alpha\) jest równe \(1\), zatem całe działanie upraszcza się do postaci:
$$sin^2\alpha\cdot1=sin^2\alpha$$