Najbezpieczniejszym sposobem byłoby rozwiązywanie każdej z podanych nierówności z wartością bezwzględną. Jeśli jednak mamy trochę wprawy w rozwiązywaniu takich nierówności, to nasz wzrok powinien kierować się przede wszystkim ku odpowiedziom A oraz B. Dlaczego? Wynik będący sumą przedziałów jest charakterystyczny dla nierówności w których występuje znak typu \(\ge\). Gdybyśmy mieli jeden przedział, to wtedy interesowałyby nas w pierwszej kolejności nierówności ze znakiem typu \(\le\). Spróbujmy zatem rozwiązać podane nierówności:

Odp. A.
$$|x-3,5|\ge1,5 \           ,\
x-3,5\ge1,5 \quad\lor\quad x-3,5\le-1,5 \           ,\
x\ge5 \quad\lor\quad x\le2$$

Odp. B.
$$|x-1,5|\ge3,5 \           ,\
x-1,5\ge3,5 \quad\lor\quad x-1,5\le-3,5 \           ,\
x\ge5 \quad\lor\quad x\le-2$$

Odp. C.
$$|x-3,5|\le1,5 \           ,\
x-3,5\le1,5 \quad\land\quad x-3,5\ge-1,5 \           ,\
x\le5 \quad\land\quad x\ge2$$

Odp. D.
$$|x-1,5|\le3,5 \           ,\
x-1,5\le3,5 \quad\land\quad x-1,5\ge-3,5 \           ,\
x\le5 \quad\land\quad x\ge-2$$

Interesujące nas rozwiązanie znalazło się zatem w drugiej nierówności.

Podane w treści zadania pierwiastki są jednakowego stopnia. To pozwala nam na skorzystanie z działań na pierwiastkach i rozpisanie całości w następujący sposób:
$$\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]2=\sqrt[3]{\left(-\frac{27}{16}\right)\cdot2}= \           ,\
=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}$$

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, liczbę z treści zadania możemy rozpisać w następujący sposób:
$$(2n+1)^2-1=4n^2+4n+1-1= \           ,\
=4n^2+4n=4n(n+1)$$

Nasz zapis moglibyśmy dla lepszego zobrazowania przedstawić nawet jako \(4\cdot n\cdot(n+1)\). W tym zapisie \(n\) oraz \(n+1\) to kolejne liczby naturalne, a wiemy, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest zawsze podzielny przez \(2\). Dodatkowo wyciągając czwórkę przed nawias udowodniliśmy, że liczba jest podzielna przez \(4\). Skoro liczba jest jednocześnie podzielna przez \(2\) oraz \(4\), to będzie też podzielna przez \(8\), co należało udowodnić.

Podane w zadaniu logarytmy mają jednakową podstawę, zatem korzystając z działań na logarytmach, możemy całość zapisać jako:
$$log_{9}27+log_{9}3=log_{9}(27\cdot3)=log_{9}81=2$$

Jeśli nie umiemy podać z pamięci wartości \(log_{9}81\), to możemy standardowo zapisać, że rozwiązaniem tego logarytmu jest \(x\) i całość wyglądałaby w ten oto sposób:
$$log_{9}81=x \Longleftrightarrow 9^x=81$$

Teraz musimy sprowadzając potęgi do jednakowej podstawy, otrzymamy:
$$9^x=81 \           ,\
9^x=9^2 \           ,\
x=2$$

Kluczem do sukcesu w tym zadaniu jest wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zgodnie z tymi wzorami, całość moglibyśmy rozpisać jako:
$$(2a-3)^2-(2a+3)^2=4a^2-12a+9-(4a^2+12a+9)= \           ,\
=4a^2-12a+9-4a^2-12a-9=-24a$$

Rozwiązywanie nierówności możemy rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez \(3\), otrzymując:
$$-2(x+3)\le\frac{2-x}{3} \quad\bigg/\cdot3 \           ,\
-6(x+3)\le2-x \           ,\
-6x-18\le2-x \           ,\
-5x\le20 \quad\bigg/:(-5) \           ,\
x\ge-4$$

Zwróć uwagę na zmianę znaku po podzieleniu obydwu stron przez \(-5\). Zawsze, kiedy w nierówności dzielimy lub mnożymy obydwie strony przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak nierówności na przeciwny. Stąd też właśnie rozwiązaniem tej nierówności jest \(x\ge-4\), co możemy zapisać w formie przedziału jako \(\langle-4;\infty)\).

Mamy równanie w postaci iloczynowej, czyli wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera. Liczba \(\sqrt{3}\) stojąca przed nawiasami niczego nam nie zmienia, moglibyśmy nawet obustronnie całość podzielić przez \(\sqrt{3}\) otrzymując równanie \((x^2-2)(x+3)=0\). Przyrównując zatem wartości w nawiasach do zera, otrzymamy:
$$x^2-2=0 \quad\lor\quad x+3=0 \           ,\
x^2=2 \quad\lor\quad x+3=0 \           ,\
x=\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-3$$

Widzimy więc, że pasującą odpowiedzią będzie liczba \(\sqrt{2}\).

Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do naszego równania. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to nasz mianownik musi być różny od zera. To oznacza, że:
$$(x-1)(x+1)^2\neq0$$

Teraz zachowujemy się dokładnie tak, jak przy postaci iloczynowej, czyli moglibyśmy zapisać, że \(x-1\neq0\) oraz że \(x+1\neq0\), co prowadzi nas do wniosku, że \(x\neq1\) oraz \(x\neq-1\).

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązania naszego równania. Całość możemy standardowo rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez zawartość z mianownika. Sprawi to, że po lewej stronie zostanie nam tylko licznik, a po prawej cały czas będziemy mieć \(0\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0 \quad\bigg/\cdot (x-1)(x+1)^2 \           ,\
(x+1)(x-1)^2=0$$

Otrzymaliśmy postać iloczynową, zatem przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, czyli:
$$x+1=0 \quad\lor\quad x-1=0 \           ,\
x=-1 \quad\lor\quad x=1$$

Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. I tu się okazuje, że obydwa rozwiązania musimy odrzucić, ponieważ dla obydwu rozwiązań otrzymalibyśmy w mianowniku liczbę równą \(0\). To prowadzi nas do wniosku, że to równanie nie ma rozwiązań.

Aby rozwiązać to równanie, najprościej będzie skorzystać z metody grupowania. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$3x^3-2x^2-12x+8=0 \           ,\
x^2\cdot(3x-2)-4\cdot(3x-2)=0 \           ,\
(x^2-4)\cdot(3x-2)=0$$

Aby powyższe równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z tych nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-4=0 \quad\lor\quad 3x-2=0 \           ,\
x^2=4 \quad\lor\quad 3x=2 \           ,\
x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x=\frac{2}{3}$$

Oczywiście moglibyśmy po prostu wyznaczyć równania tych dwóch prostych (wystarczy odczytać z rysunku współrzędne dwóch punktów przez które taka prosta przechodzi i skorzystać albo ze wzoru z tablic albo z tak zwanej metody układu równań). Nie mniej jednak w tego typu zadaniach bardzo często jesteśmy w stanie podać prawidłową odpowiedzieć jedynie analizując całą sytuację na rysunku.

Po pierwsze powinniśmy dostrzec, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca. To oznacza, że jedna prosta powinna mieć dodatni współczynnik \(a\), natomiast druga powinna mieć ujemny. Taką sytuację mamy jedynie w odpowiedziach B oraz D, więc tylko do tych odpowiedzi możemy się ograniczyć.

Po drugie - moglibyśmy dostrzec, że prosta malejąca przecina oś \(OY\) dla \(y=2\), co z kolei mówi nam, że ta prosta ma współczynnik \(b=2\). Taka sytuacja jest właśnie w odpowiedzi D, zatem bez żadnego liczenia możemy być pewni, że prawidłowym układem równań będzie ten z ostatniej odpowiedzi.

Krok 1. Zapisanie pierwszego równania.
Pierwsze równanie związane jest z obwodem prostokąta. Wiemy, że nasz prostokąt ma obwód równy \(30\). Na ten obwód będą składać się dwa boki o długości \(a\) oraz dwa boki o długości \(b\), zatem pierwszym równaniem jakie możemy ułożyć będzie:
$$2a+2b=30$$

I tu od razu możemy zapisać drugi wariant tego równania (który pojawi się jako alternatywna odpowiedź). Wyciągając dwójkę przed nawias, moglibyśmy zapisać, że:
$$2\cdot(a+b)=30$$

Krok 2. Zapisanie drugiego równania.
Drugie równanie wynika z informacji, że jeden z boków prostokąta jest o \(5\) krótszy od drugiego. Moglibyśmy zapisać, że w takim razie:
$$b=a-5$$

Przekształcając to równanie moglibyśmy otrzymać postać:
$$b+5=a \           ,\
a-b=5$$

Krok 3. Wybór poprawnych odpowiedzi.
Analizując teraz dostępne odpowiedzi widzimy, że pasuje nam na pewno układ równań z odpowiedzi C oraz z odpowiedzi E.

Rozwiązanie 1.
Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(OX\). Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości dla argumentów od \(x=6\) (włącznie z tym argumentem, bo kropka jest zamalowana), aż do \(x=5\) (także z tym argumentem, bo kropka zamalowana). To prowadzi nas do wniosku, że dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(\langle-6;5\rangle\).

Rozwiązanie 2.
Spoglądając na wykres możemy stwierdzić, że w przedziale \(\langle-4;1\rangle\) największą przyjmowaną wartością jest \(y=2\).

Rozwiązanie 3.
Widzimy, że funkcja maleje od argumentu \(x=2\) aż do argumentu \(x=5\), więc moglibyśmy zapisać, że funkcja maleje dla argumentów \(x\) należących do zbioru \(\langle2;5\rangle\).

Widzimy, że nasza funkcja jest malejąca, zatem współczynnik kierunkowy \(a\) musi być ujemny. To oznacza, że \(a\lt0\).

Dodatkowo widzimy, że wykres funkcji przecina oś \(OY\) w dodatnim miejscu, a to prowadzi nas do wniosku, że współczynnik \(b\) jest dodatni, czyli \(b\gt0\).

To oznacza, że liczby \(a\) oraz \(b\) spełniają warunki \(a\lt0\) i \(b\gt0\).

Jedną z własności wierzchołka paraboli jest fakt, że znajduje się od w jednakowej odległości od miejsc zerowych. Moglibyśmy się tutaj nawet posłużyć wzorem:
$$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$$

Podstawiając dane z treści zadania, czyli \(p=3\) oraz \(x_{1}=-5\), otrzymamy:
$$3=\frac{-5+x_{2}}{2} \           ,\
6=-5+x_{2} \           ,\
x_{2}=11$$

Chcąc obliczyć wartość czwartego wyrazu, wystarczy podstawić do wzoru ciągu \(n=4\), zatem:
$$a_{4}=2^4\cdot(4+1) \           ,\
a_{4}=16\cdot5 \           ,\
a_{4}=80$$

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$9^2=27\cdot(a-1) \           ,\
81=27a-27 \           ,\
27a=108 \           ,\
a=4$$

Opisaną w zadaniu sytuację możemy przedstawić jako ciąg arytmetyczny, w którym \(S_{n}=8910\), \(n=18\) oraz \(r=-30\). Poszukiwaną wartością jest \(a_{1}\).

W zadaniu możemy więc skorzystać ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, czyli:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Podstawiając teraz znane dane, otrzymamy:
$$8910=\frac{2a_{1}+(18-1)\cdot(-30)}{2}\cdot18 \           ,\
8910=\frac{2a_{1}+17\cdot(-30)}{2}\cdot18 \           ,\
8910=\frac{2a_{1}-510}{2}\cdot18 \           ,\
495=\frac{2a_{1}-510}{2} \           ,\
990=2a_{1}-510 \           ,\
2a_{1}=1500 \           ,\
a_{1}=750$$

Opisana w zadaniu sytuacja jest bardzo charakterystyczna i związana jest tak naprawdę z definicjami funkcji trygonometrycznych. Możemy się tutaj posłużyć wzorami z tablic matematycznych, z których wynika, że:
$$tg\alpha=\frac{y}{x}$$

\(x\) oraz \(y\) to współrzędne punktu, przez który przechodzi drugie ramię kąta, zatem możemy zapisać, że:
$$tg\alpha=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$$

Kluczem do sukcesu będzie rozbicie \(sin^4\alpha\) na iloczyn \(sin^2\alpha\cdot sin^2\alpha\). Rozpisując podane wyrażenie, otrzymamy następującą sytuację:
$$sin^4\alpha+sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha= \           ,\
=sin^2\alpha\cdot sin^2\alpha+sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha= \           ,\
=sin^2\alpha\cdot(sin^2\alpha+cos^2\alpha)$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2\alpha+cos^2\alpha\) jest równe \(1\), zatem całe działanie upraszcza się do postaci:
$$sin^2\alpha\cdot1=sin^2\alpha$$

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin150°\).
Za chwilę korzystając ze wzoru na pole rombu będziemy potrzebować wartości \(sin150°\), zatem obliczmy ją już teraz. Jest to kluczowa trudność w tym zadaniu, bo w tablicach trygonometrycznych znajdziemy wartości funkcji dla katów od \(0°\) do \(90°\). Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów rozwartych możemy obliczyć korzystając z jednego ze wzorów redukcyjnych. W naszym przypadku świetnie sprawdzi się wzór \(sin(90°+\alpha)=cos\alpha\). Korzystając z niego, możemy zapisać, że:
$$sin150°=sin(90°+60°)=cos60°$$

Z tablic odczytujemy teraz, że \(cos60°=\frac{1}{2}\), zatem tym samym \(sin150°=\frac{1}{2}\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni rombu.
W tym zadaniu możemy skorzystać ze "wzoru na pole rombu z sinusem", czyli:
$$P=a^2\cdot sin\alpha$$

Podstawiając znane nam dane, otrzymamy:
$$P=(6\sqrt{2})^2\cdot sin150° \           ,\
P=36\cdot2\cdot\frac{1}{2} \           ,\
P=36$$

Krok 3. Obliczenie iloczynu długości przekątnych rombu.
Standardowo pole rombu wyliczamy ze wzoru:
$$P=\frac{1}{2}\cdot e\cdot f$$

Interesuje nas poznanie wartości iloczynu \(e\cdot f\), zatem podstawiając wyliczone przed chwilą \(P=36\), możemy zapisać, że:
$$36=\frac{1}{2}\cdot e\cdot f \           ,\
e\cdot f=72$$

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(AOC\) oraz \(AOC\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACO\). Jest to trójkąt równoramienny (ramiona mają długość promienia). Z własności takich trójkątów wynika, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę, co prowadzi nas do wniosku, że:
$$|\sphericalangle OAC|=70°$$

Suma miar kątów w trójkącie musi być równa \(180°\), zatem:
$$|\sphericalangle AOC|=180°-70°-70°=40°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ABC\).
Kąt wpisany \(ABC\) jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy \(AOC\). Z własności kątów wpisanych i środkowych wiemy, że miara kąta wpisanego będzie w takiej sytuacji dwukrotnie mniejsza, zatem:
$$|\sphericalangle AOC|=40°:2=20°$$

Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej trójkąta \(T_{1}\).
Z treści zadania wynika, że trójkąt \(T_{1}\) ma przyprostokątne o długości \(5\) i \(12\), zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej:
$$5^2+12^2=c^2 \           ,\
25+144=c^2 \           ,\
c^2=169 \           ,\
c=13 \quad\lor\quad c=-13$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo długość boku jest dodatnia, zatem zostaje nam \(c=13\).

Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa.
Z treści zadania wynika, że drugi trójkąt \(T_{2}\) ma przeciwprostokątną o długości \(26\), czyli ma przeciwprostokątną dwa razy dłuższą od trójkąta \(T_{1}\).


To oznacza, że skala podobieństwa tych trójkątów wynosi \(k=2\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(T_{2}\).
Obliczmy najpierw pole trójkąta \(T_{1}\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot12\cdot5 \           ,\
P=30$$

Zgodnie z własnościami trójkątów podobnych, jeśli skala podobieństwa figur jest równa \(k\) to pole powierzchni figury podobnej będzie \(k^2\) razy większe. W naszym przypadku oznaczałoby to, że pole trójkąta \(T_{2}\) będzie \(4\) razy większe od pola trójkąta \(T_{1}\), zatem:
$$P=4\cdot30 \           ,\
P=120$$

Krok 1. Ustalenie, czy proste są prostopadłe.
Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) jest równy \(-1\). W naszym przypadku współczynniki \(a\) mają wartość \(\frac{2}{3}\) oraz \(-\frac{3}{2}\), a iloczyn tych dwóch liczb jest równy:
$$\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1$$

To oznacza, że proste \(k\) oraz \(l\) są prostopadłe.

Krok 2. Wyznaczenie miejsca przecięcia się prostych.
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że chcąc poznać miejsce przecięcia się prostych wystarczy rozwiązać następujący układ równań:
$$\begin{cases}
y=\frac{2}{3}x \           ,\
y=-\frac{3}{2}x+13
\end{cases}$$

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$\frac{2}{3}x=-\frac{3}{2}x+13 \           ,\
\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}x=13 \           ,\
\frac{4}{6}x+\frac{9}{6}x=13 \           ,\
\frac{13}{6}x=13 \quad\bigg/\cdot\frac{6}{13} \           ,\
x=6$$

Wiemy już, że \(x=6\) (co swoją drogą wystarczy już do wybrania prawidłowej odpowiedzi). Chcąc poznać jeszcze współrzędną \(y\) punktu przecięcia wystarczy podstawić wyznaczone \(x=6\) do jednego z równań (np. \(y=\frac{2}{3}x\)), zatem:
$$y=\frac{2}{3}\cdot6 \           ,\
y=4$$

To oznacza, że miejscem przecięcia się tych prostych jest punkt o współrzędnych \((6;4)\).

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowe współczynniki kierunkowe \(a\). To prowadzi nas do wniosku, że nasza poszukiwana prosta musi mieć współczynnik \(a=-\frac{1}{3}\).

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(b\).
Wiemy już, że nasza prosta równoległa musi wyrażać się równaniem typu \(y=-\frac{1}{3}x+b\). Chcąc poznać brakujący współczynnik \(b\) musimy podstawić współrzędne punktu, przez który ta prosta przechodzi, czyli w tym przypadku współrzędne punktu \(P=(3;5)\). Otrzymamy zatem:
$$5=-\frac{1}{3}\cdot3+b \           ,\
5=-1+b \           ,\
b=6$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny, to w swojej podstawie będzie miał on kwadrat. Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco:


Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
W podstawie mamy kwadrat o boku \(a=15\). Z własności kwadratów wiemy, że przekątna kwadratu o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem w naszym przypadku \(d=15\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej graniastosłupa.
Cosinus opisuje nam stosunek między długości przyprostokątnej leżącej przy kącie, względem przeciwprostokątnej. Możemy więc zapisać, że:
$$cos\alpha=\frac{d}{s}$$

Podstawiając znane nam dane, otrzymamy:
$$\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{15\sqrt{2}}{s}$$

To równanie możemy rozwiązać na wiele sposobów - najprościej będzie chyba wykonać mnożenie na krzyż, zatem:
$$\sqrt{2}\cdot s=3\cdot15\sqrt{2} \           ,\
\sqrt{2}\cdot s=45\sqrt{2} \           ,\
s=45$$

Krok 1. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny, który został narysowany w treści zadania. Jest to klasyczny trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\). Z własności tego trójkąta wynika, że krótsza przyprostokątna (którą w tym przypadku jest wysokość ostrosłupa) będzie dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Tym samym możemy zapisać, że:
$$H=6:2 \           ,\
H=3$$

Do tego samego wyniku dojdziemy korzystając z funkcji trygonometrycznej - w tej sytuacji sprawdzi się sinus:
$$sin30°=\frac{H}{6} \           ,\
\frac{1}{2}=\frac{H}{6} \           ,\
H=3$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Spójrzmy jeszcze raz na nasz trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\). Z własności tego trójkąta wynika to, że jego dolna (dłuższa) przyprostokątna będzie \(\sqrt{3}\) razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej, czyli moglibyśmy zapisać, że ta dolna przyprostokątna ma długość \(x=3\sqrt{3}\).

W podstawie ostrosłupa znajduje się kwadrat (wiemy to, ponieważ ostrosłup jest prawidłowy czworokątny). Ta dolna przyprostokątna naszego analizowanego przed chwilą trójkąta będzie więc połową długości boku kwadratu. To oznacza, że w takim razie:
$$a=2\cdot3\sqrt{3} \           ,\
a=6\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie pola podstawy oraz pola powierzchni bocznej.
W podstawie naszej bryły mamy kwadrat o boku \(a=6\sqrt{3}\), zatem pole powierzchni podstawy będzie równe:
$$P_{p}=(6\sqrt{3})^2 \           ,\
P_{p}=36\cdot3 \           ,\
P_{p}=108$$

Ściany boczne naszej bryły to trójkąty o podstawie \(a=6\sqrt{3}\) oraz wysokości \(h=6\). Mamy cztery takie ściany, więc pole powierzchni bocznej będzie równe:
$$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot6\sqrt{3}\cdot6 \           ,\
P_{b}=72\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znając pole podstawy oraz wysokość ostrosłupa, możemy zapisać, że:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \           ,\
V=\frac{1}{3}\cdot108\cdot3 \           ,\
V=108$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Znając pole podstawy oraz pole powierzchni bocznej, możemy zapisać, że:
$$P_{c}=P_{p}+P_{b} \           ,\
P_{c}=108+72\sqrt{3}$$

Jeżeli w podstawie ostrosłupa mamy \(n\)-kąt, to liczbę wierzchołków ostrosłupa możemy opisać jako \(n+1\), natomiast liczba krawędzi będzie równa \(2n\).

Z treści zadania wynika więc, że:
$$\frac{n+1}{2n}=\frac{3}{5}$$

Wykonując teraz mnożenie na krzyż, otrzymamy:
$$(n+1)\cdot5=2n\cdot3 \           ,\
5n+5=6n \           ,\
n=5$$

To oznacza, że w podstawie naszego ostrosłupa znajduje się pięciokąt i będzie to oczywiście pięciokąt foremny (bo ostrosłup jest prawidłowy).

Rozpiszmy dokładnie jakie cyfry mogą znaleźć się na poszczególnych miejscach liczby pięciocyfrowej.
· w rzędzie dziesiątek tysięcy możemy mieć jedynie cyfry \(5\) oraz \(7\) (czyli bez \(0\), bo zero nie może stać na początku liczby). To oznacza, że mamy tutaj \(2\) możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie tysięcy możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj \(3\) możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie setek możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj \(3\) możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie dziesiątek możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj \(3\) możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie jedności możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj \(3\) możliwości wyboru cyfry.

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich interesujących nas liczb będziemy mieć:
$$2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=2\cdot3^4$$

Krok 1. Obliczenie mediany ceny kilograma pomidorów.
Zebrano ceny pomidorów z \(16\) sklepów, czyli liczba wyników jest parzysta. To oznacza, że mediana będzie średnią arytmetyczną między środkowymi wyrazami - czyli w naszym przypadku będzie to średnia arytmetyczna ósmego i dziewiątego wyniku.

Wyliczając medianę musimy uporządkować liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszych do największych). Jeśli chcemy, to moglibyśmy wypisać te ceny jako ciąg:
$$5,05; \; 5,05; \; 5,60; \; 5,60...$$

Analizując wykres i pojawiające się tam ceny wynika, że ósmą w kolejności ceną byłoby \(5,70\), a dziewiątą byłoby już \(6,00\). To oznacza, że mediana będzie równa:
$$m=\frac{5,70+6,00}{2} \           ,\
m=\frac{11,70}{2} \           ,\
m=5,85$$

Krok 2. Obliczenie średniej ceny kilograma pomidorów.
Średnią cenę obliczymy w następujący sposób:
$$śr=\frac{2\cdot5,05+4\cdot5,60+2\cdot5,70+5\cdot6,00+3\cdot6,30}{16} \           ,\
śr=\frac{10,10+22,40+11,40+30+18,90}{16} \           ,\
śr=\frac{92,80}{16} \           ,\
śr=5,80$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Mamy \(8\), a losowanie odbywa się ze zwracaniem, czyli za pierwszym razem możemy wylosować jedną z ośmiu liczb i za drugim razem też możemy wylosować jedną z ośmiu liczb. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia liczba zdarzeń elementarnych będzie równa \(|Ω|=8\cdot8=64\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której wylosowane liczby pomnożone przez siebie dadzą wynik podzielny przez \(15\), czyli dadzą wynik równy \(15, 30, 45, 60, 75\) (większej liczby nie będziemy w stanie osiągnąć). Skoro tak, to pasującymi zdarzeniami będą:
$$(3,5); (5,3), (5,6); (6,5), (5,9); (9,5)$$

To oznacza, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}$$

Rozwiązanie 1.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest fałszem. Wartość \(L(30)\) opisze nam liczbę klientów trzydziestego dnia, a nie sumę wszystkich klientów, którzy zostali obsłużeni w ciągu \(30\) dni.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Chcąc poznać liczbę klientów obsłużonych trzeciego dnia, wystarczy podstawić do wzoru \(n=3\), zatem:
$$L(3)=-3^2+22\cdot3+279 \           ,\
L(3)=-9+66+279 \           ,\
L(3)=336$$

Zdanie jest więc prawdą.

Rozwiązanie 2.
Krok 1. Wyznaczenie dnia, w którym było najwięcej klientów.
Liczba obsługiwanych klientów jest opisana funkcją kwadratową. Wiemy, że wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, która w tym przypadku będzie miała ramiona skierowane do dołu, bo współczynnik \(a=-1\). To oznacza, że swoją największą wartość ta funkcja będzie przyjmowała w wierzchołku.


Chcąc się dowiedzieć, którego dnia było najwięcej klientów, wystarczy obliczyć tzw. pierwszą współrzędną wierzchołka (zwyczajowo opisywaną jako \(p\)). Skorzystamy ze wzoru:
$$p=\frac{-b}{2a}$$

Ze wzoru \(L(n)=-n^2+22n+279\) odczytujemy, że współczynniki \(a=-1\) oraz \(b=22\), zatem:
$$p=\frac{-b}{2a} \           ,\
p=\frac{-22}{2\cdot(-1)} \           ,\
p=\frac{-22}{-2} \           ,\
p=11$$

Krok 2. Wyznaczenie liczby klientów jedenastego dnia.
Liczbę klientów jedenastego dnia możemy obliczyć wyznaczając \(q\) (chcąc tak postąpić wystarczy skorzystać ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\) lub też obliczając po prostu \(L(11)\). Wybierzmy może ten drugi sposób. Podstawiając \(n=11\) do wzoru funkcji, otrzymamy:
$$L(11)=-(11)^2+22\cdot11+279 \           ,\
L(11)=-121+242+279 \           ,\
L(11)=400$$