📄 Treść zadania
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\neq a\), spełniona jest nierówność
$$\dfrac{a^2+b^2}{2}\gt\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$$
Krok 1. Przekształcenie równania.
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy zapisać, że:
$$\frac{a^2+b^2}{2}\gt\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$$
$$\frac{a^2+b^2}{2}\gt\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \quad\bigg/\cdot4$$
$$2\cdot(a^2+b^2)\gt a^2+2ab+b^2$$
$$2a^2+2b^2\gt a^2+2ab+b^2$$
$$a^2+b^2\gt 2ab$$
$$a^2-2ab+b^2\gt0$$
$$(a-b)^2\gt0$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(b\neq a\), co prowadzi nas do wniosku, że różnica \(a-b\) jest na pewno różna od zera. Kwadrat dwóch liczb rzeczywistych różnych od zera jest zawsze większy od zera, zatem dowód możemy uznać za zakończony.