📄 Treść zadania
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y,z\) takich, że \(x+y+z=0\), prawdziwa jest nierówność \(xy+yz+zx\le0\).
Możesz skorzystać z tożsamości \((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\).
Krok 1. Przekształcenie tożsamości \((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\).
W zadaniu skorzystamy z tożsamości podanej w treści zadania. Spróbujemy ją przekształcić w taki sposób, by po lewej stronie otrzymać wartość \(xy+yz+zx\). Zatem:
$$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$$
$$(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2=2xy+2xz+2yz$$
$$xy+xz+yz=\frac{(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2}{2}$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego równania.
Z treści zadania wiemy, że \(x+y+z=0\), stąd też wartość \((x+y+z)^2\) otrzymana w liczniku jest równa \(0\). Zostaje nam więc tak naprawdę:
$$xy+xz+yz=\frac{-x^2-y^2-z^2}{2}$$
Jakakolwiek liczba podniesiona do kwadratu jest liczbą nieujemną. Skoro więc przed \(x^2\), \(y^2\) oraz \(z^2\) stoją znaki minusa, to na pewno w liczniku mamy wartość niedodatnią, a to z kolei jest dowodem na to, że \(xy+yz+zx\le0\).