📄 Treść zadania
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\ge\frac{2}{a+b}\).
Krok 1. Ustalenie znaku liczb znajdujących się w mianownikach ułamków.
Za chwilę będziemy wykonywali różne operacje na tej nierówności, będziemy mnożyli i dzielili obustronnie, tak aby pozbyć się ułamków. Przy nierównościach musimy być jednak bardzo ostrożni, bowiem mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną będziemy musieli zmienić znak nierówności na przeciwny. Stąd też dobrze jest ustalić sobie jaka wartość kryje się pod \(2a\), \(2b\) oraz \(a+b\).
Z założeń wynika, że liczby \(a\) oraz \(b\) mają być dodatnie. W związku z tym wszystkie wyrażenia znajdujące się w mianownikach (czyli \(2a\), \(2b\) oraz \(a+b\)) także będą dodatnie. To oznacza, że mnożąc i dzieląc obustronnie tę nierówność nie będziemy musieli zmieniać znaku na przeciwny.
Krok 2. Przekształcenie nierówności.
Musimy naszą nierówność przekształcić w taki sposób, by finalnie otrzymać dowód na prawdziwość tej nierówności. Najlepiej będzie zacząć od pozbycia się ułamków, możemy to robić krok po kroku, by niczego nie zgubić:
$$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\ge\frac{2}{a+b} \quad\bigg/\cdot2a$$
$$1+\frac{2a}{2b}\ge\frac{4a}{a+b} \quad\bigg/\cdot2b$$
$$2b+2a\ge\frac{8ab}{a+b} \quad\bigg/\cdot (a+b)$$
$$2b(a+b)+2a(a+b)\ge8ab$$
$$2ab+2b^2+2a^2+2ab\ge8ab$$
$$2a^2+2b^2+4ab\ge8ab$$
$$2a^2+2b^2\ge4ab \quad\bigg/:2$$
$$a^2+b^2\ge2ab$$
$$a^2-2ab+b^2\ge0$$
$$(a-b)^2\ge0$$
Z racji tego iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.