📄 Treść zadania
Kąt \(α\in(0°, 180°)\) oraz wiadomo, że \(\sinα\cdot\cosα=-\frac{3}{8}\). Wartość wyrażenia \((\cosα-\sinα)^2+2\) jest równa:
A
\(\frac{15}{4}\)
B
\(\frac{9}{4}\)
C
\(\frac{27}{8}\)
D
\(\frac{21}{8}\)
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:
$$(\cosα-\sinα)^2+2=cos^2α-2\cdot cosα\cdot sinα+sin^2α+2$$
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2=1\). Dodatkowo z treści zadania wynika, że \(sinα\cdot cosα=-\frac{3}{8}\), zatem całość możemy rozpisać następująco:
$$cos^2α-2\cdot cosα\cdot sinα+sin^2α+2$$
$$sin^2α+cos^2α-2\cdot cosα\cdot sinα+2$$
$$1-2\cdot\left(-\frac{3}{8}\right)+2$$
$$1-\left(-\frac{3}{4}\right)+2$$
$$3+\frac{3}{4}=3\frac{3}{4}=\frac{15}{4}$$