📄 Treść zadania
Kąt \(α\) jest ostry i \(tgα=\frac{2}{3}\). Wtedy:
A
\(sinα=\frac{3\sqrt{13}}{26}\)
B
\(sinα=\frac{\sqrt{13}}{13}\)
C
\(sinα=\frac{2\sqrt{13}}{13}\)
D
\(sinα=\frac{3\sqrt{13}}{13}\)
Zanim zaczniemy liczyć to mała podpowiedź. Jeśli nie umiemy obliczyć tego zadania w matematyczny sposób, to wystarczy w tablicach sprawdzić jaki kąt ostry ma tangens równy (lub bliski) \(\frac{2}{3}\). Następnie jeśli już wiemy jaki to jest mniej więcej kąt to możemy sprawdzić w tablicach jaką wartość przyjmuje on dla funkcji sinus. Na koniec na kalkulatorze sprawdzimy która z tych czterech odpowiedzi daje przybliżenie najbliższe odczytowi z tablicy i tak oto zadanie będzie rozwiązane poprawnie. Zobaczmy jednak jak do tego zadania podejść w sposób matematyczny.
Krok 1. Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa.
Z trygonometrii wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Użyjemy tej własności, bo musimy doprowadzić nasz wynik do sinusa. Zatem:
$$tgα=\frac{2}{3}$$
$$\frac{sinα}{cosα}=\frac{2}{3}$$
Mnożąc to na krzyż otrzymamy:
$$3sinα=2cosα$$
Krok 2. Obliczenie wartości sinusa przy użyciu jedynki trygonometrycznej.
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). To oznacza, że moglibyśmy sobie wyznaczyć z równania z pierwszego kroku wartość cosinusa, a następnie podstawilibyśmy ją do jedynki trygonometrycznej i wtedy otrzymalibyśmy wartość sinusa. Zatem:
$$3sinα=2cosα$$
$$cosα=\frac{3}{2}sinα$$
Podstawiamy teraz to do jedynki trygonometrycznej:
$$sin^2α+cos^2α=1$$
$$sin^2α+\left(\frac{3}{2}sinα\right)^2=1$$
$$sin^2α+\frac{9}{4}sin^2α=1$$
$$\frac{13}{4}sin^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{13}$$
$$sin^2α=\frac{4}{13}$$
$$sinα=\sqrt{\frac{4}{13}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$$
(Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry to nie bierzemy pod uwagę ujemnego rozwiązania, które wyszłoby nam z równania kwadratowego \(sin^2α=\frac{4}{13}\), bo dla kątów ostrych sinus przyjmuje jedynie wartości dodatnie).