📄 Treść zadania
Dany jest skończony ciąg, w którym pierwszy wyraz jest równy \(444\), a ostatni jest równy \(653\). Każdy wyraz tego ciągu, począwszy od drugiego, jest o \(11\) większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.
Krok 1. Obliczenie liczby wyrazów tego ciągu.
Z treści zadania wiemy, że:
$$a_{1}=444 \ ,\
a_{n}=653 \ ,\
r=11$$
Aby obliczyć ile jest wyrazów w tym ciągu skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \ ,\
653=444+(n-1)\cdot11 \ ,\
653=444+11n-11 \ ,\
653-444+11=11n \ ,\
11n=220 \ ,\
n=20$$
To oznacza, że nasz ciąg ma \(20\) wyrazów.
Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów tego ciągu.
Sumę wszystkich wyrazów obliczymy korzystając z następującego wzoru:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \ ,\
S_{20}=\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot n \ ,\
S_{20}=\frac{444+653}{2}\cdot20 \ ,\
S_{20}=\frac{1097}{2}\cdot20 \ ,\
S_{20}=10970$$