📄 Treść zadania
W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(187\). Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa \(12\). Wyrazy \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) ciągu \((a_{n})\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_{n})\). Oblicz \(k\).
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania i stworzenie z nich układu równań.
Na początek zajmijmy się ciągiem arytmetycznym. Z treści zadania wynika, że:
\begin{cases} S_{11}=187 \quad , \\ \frac{a_{1}+a_{3}+a_{9}}{3}=12 \end{cases}
Krok 2. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) wiemy, że:
$$a_{3}=a_{1}+2r \ ,\
a_{9}=a_{1}+8r \ ,\
a_{11}=a_{1}+10r$$
Ze wzoru \(S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n\) wynika, że:
$$S_{11}=\frac{a_{1}+a_{11}}{2}\cdot11 \ ,\
S_{11}=\frac{a_{1}+a_{1}+10r}{2}\cdot11 \ ,\
S_{11}=\frac{2a_{1}+10r}{2}\cdot11 \ ,\
S_{11}=(a_{1}+5r)\cdot11 \ ,\
S_{11}=11a_{1}+55r$$
Podstawiając te wszystkie przekształcenia do układu równań otrzymamy:
\begin{cases} 11a_{1}+55r=187 \quad , \\ \frac{a_{1}+a_{1}+2r+a_{1}+8r}{3}=12 \end{cases}\begin{cases} 11a_{1}+55r=187 \quad\bigg/:11 \quad , \\ \frac{3a_{1}+10r}{3}=12 \quad\bigg/\cdot3 \end{cases}\begin{cases} a_{1}+5r=17 \quad\bigg/\cdot(-3) \quad , \\ 3a_{1}+10r=36 \end{cases}\begin{cases} -3a_{1}-15r=-51 \quad , \\ 3a_{1}+10r=36 \end{cases}
Dzięki pomnożeniu przez \(-3\) możemy teraz dodać oba równania stronami i pozbyć się niewiadomej \(a_{1}\). Oczywiście dobrą metodą na rozwiązanie tego równania byłoby też podstawienie do drugiego równania \(a_{1}=17-5r\). Po dodaniu równań stronami otrzymamy:
$$-5r=-15 \ ,\
r=3$$
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego i trzeciego wyrazu.
Podstawiając \(r=3\) do dowolnego z równań otrzymamy:
$$3a_{1}+10r=36 \ ,\
3a_{1}+10\cdot3=36 \ ,\
3a_{1}=6 \ ,\
a_{1}=2$$
Obliczmy jeszcze wartość trzeciego wyrazu tego ciągu (przyda nam się podczas wykonywania działań na ciągu geometrycznym).
$$a_{3}=a_{1}+2r \ ,\
a_{3}=2+2\cdot3 \ ,\
a_{3}=8$$
Krok 4. Zapisanie wzoru na \(a_{k}\) wyraz ciągu.
$$a_{k}=a_{1}+(k-1)r \ ,\
a_{k}=2+(k-1)\cdot3 \ ,\
a_{k}=2+3k-3 \ ,\
a_{k}=3k-1$$
Krok 5. Obliczenie wartości \(k\).
Skoro \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) to trzy kolejne wyrazu ciągu geometrycznego, to zajdzie między nimi relacja:
$${a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{k} \ ,\
8^2=2\cdot(3k-1) \ ,\
64=6k-2 \ ,\
66=6k \ ,\
k=11$$