📄 Treść zadania
Liczby \(x\), \(y\), \(19\) tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny, przy czym \(x+y=8\). Oblicz \(x\) i \(y\).
Krok 1. Obliczenie wartości drugiego (środkowego) wyrazu ciągu.
Jedną z bardziej przydatnych własności ciągów arytmetycznych jest ta, która mówi o tym, że drugi wyraz ciągu będzie średnią arytmetyczną wyrazu pierwszego i trzeciego. Wynika to z poniższej zależności:
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$
W związku z tym:
$$a_{2}=\frac{a_{2-1}+a_{2+1}}{2}$$
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a{3}}{2}$$
$$y=\frac{x+19}{2}$$
Krok 2. Utworzenie odpowiedniego układu równań.
Równanie obliczone w pierwszym kroku i równanie \(x+y=8\) z treści zadania tworzą układ równań, dzięki któremu bez problemu wyliczymy wartości \(x\) oraz \(y\):
\begin{cases} y=\frac{x+19}{2} \\ x+y=8 \end{cases}
Krok 3. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej będzie rozwiązać ten układ metodą podstawiania, zwłaszcza że mamy już w pierwszym równaniu wyprowadzoną wartość \(y\). Zatem podstawiając \(y=\frac{x+19}{2}\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$x+\frac{x+19}{2}=8 \quad\bigg/\cdot2$$
$$2x+x+19=16$$
$$3x=-3$$
$$x=-1$$
Do obliczenia pozostała nam jeszcze wartość \(y\) i możemy ją wyliczyć z dowolnie wybranego równania:
$$x+y=8$$
$$-1+y=8$$
$$y=9$$