📄 Treść zadania
Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\) spełniają warunek \(a\lt4\) i \(b\lt4\), to \(ab+16\gt4a+4b\).
Krok 1. Rozpisanie podanej nierówności.
Pierwszą rzeczą, która nasuwa się przy nierówności \(ab+16\gt4a+4b\), jest przeniesienie wszystkich wyrazów na jedną stronę. Tak też właśnie zróbmy, dzięki czemu otrzymamy:
$$ab-4a-4b+16\gt0$$
Powinniśmy teraz zauważyć, że wartość po lewej stronie nierówności da się rozpisać, wyłączając wspólne czynniki przed nawias:
$$ab-4a-4b+16\gt0$$
$$a(b-4)-4(b-4)\gt0$$
$$(a-4)(b-4)\gt0$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(a\lt4\), czyli \(a-4\lt0\). Analogicznie \(b\lt4\), czyli \(b-4\lt0\). Skoro tak, to iloczyn \((a-4)(b-4)\) musi być dodatni, bowiem pomnożenie liczby ujemnej przez ujemną daje wynik większy od zera. To oznacza, że nierówność \((a-4)(b-4)\gt0\) jest jak najbardziej poprawna, co też należało udowodnić.