📄 Treść zadania
Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\).
Na samym początku przenieśmy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
$$x^3+y^3\ge x^2y+xy^2$$
$$x^3-x^2y-xy^2+y^3\ge0$$
Teraz spróbujmy wyłączyć przed nawias odpowiednio \(x^2\) oraz \(y^2\):
$$x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge0$$
$$(x^2-y^2)(x-y)\ge0$$
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że \(x^2-y^2=(x+y)(x-y)\), zatem:
$$(x+y)(x-y)(x-y)\ge0$$
$$(x+y)(x-y)^2\ge0$$
Skoro \(x\) oraz \(y\) są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to wartość w pierwszym nawiasie jest na pewno dodatnia lub równa zero. W drugim nawiasie niezależnie od tego czy liczba w nawiasie jest dodatnia czy ujemna, to po podniesieniu jej do potęgi drugiej wynik będzie dodatni lub równy zero. Mamy więc iloczyn dwóch liczb nieujemnych, a ten jest na pewno większy lub równy zero, co należało udowodnić.