📄 Treść zadania
Dane są liczby \(a=3log_{2}12-log_{2}27\) i \(b=(\sqrt{6}-\sqrt{7})(3\sqrt{6}+3\sqrt{7})\). Wartością \(a-b\) jest liczba całkowita. Oblicz tę liczbę.
Dane są liczby \(a=3log_{2}12-log_{2}27\) i \(b=(\sqrt{6}-\sqrt{7})(3\sqrt{6}+3\sqrt{7})\). Wartością \(a-b\) jest liczba całkowita. Oblicz tę liczbę.
Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(a\).
Obliczmy każdą z liczb po kolei, zaczynając od liczby \(a\). Korzystając z działań na logarytmach możemy przenieść trójkę znajdującą się z przodu w miejsce wykładnika potęgi logarytmowanej. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$a=3log_{2}12-log_{2}27=log_{2}12^3-log_{2}27=$$
$$=log_{2}1728-log_{2}27=log_{2}\left(\frac{1728}{27}\right)=log_{2}64=6$$
Jeżeli nie widzimy tego, że \(log_{2}64=6\) to zawsze możemy skorzystać z definicji logarytmów i ułożyć odpowiednie równanie:
$$log_{2}64=x \quad\Leftrightarrow\quad 2^x=64$$
Aby rozwiązać równanie \(2^x=64\) musimy sprowadzić obydwie strony równania do jednakowej podstawy potęgi, a następnie będziemy mogli porównać wykładniki. Wiedząc, że \(64\) to \(2^6\), otrzymamy:
$$2^x=64$$
$$2^x=2^6$$
$$x=6$$
Krok 2. Obliczenie wartości liczby \(b\).
Wymnażając przez siebie liczby w nawiasach, otrzymamy:
$$b=(\sqrt{6}-\sqrt{7})(3\sqrt{6}+3\sqrt{7})=$$
$$=3\cdot6+3\sqrt{42}-3\sqrt{42}-3\cdot7=18-21=-3$$
Krok 3. Obliczenie wartości \(a-b\).
Znając wartości liczb \(a\) oraz \(b\), zostało nam już tylko dopełnienie formalności i obliczenie wartości podanego wyrażenia:
$$a-b=6-(-3)=6+3=9$$