📄 Treść zadania
Równość \(2+a=\frac{9a}{2a+1}\) jest prawdziwa, gdy:
A
\(a=-2\)
B
\(a=-1\)
C
\(a=1\)
D
\(a=2\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
W mianowniku ułamka pojawia nam się niewiadoma \(a\), więc musimy zapisać założenia. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość mianownika musi być różna od zera, zatem:
$$2a+1\neq0$$
$$2a\neq-1$$
$$a\neq-\frac{1}{2}$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Zaczynając od wymnożenia obu stron nierówności przez \(2a+1\), możemy zapisać, że:
$$2+a=\frac{9a}{2a+1} \quad\bigg/\cdot(2a+1)$$
$$(2+a)\cdot(2a+1)=9a$$
$$4a+2+2a^2+a=9a$$
$$2a^2+5a+2=9a$$
$$2a^2-4a+2=0$$
$$a^2-2a+1=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem w ruch musi pójść obliczenie delty.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=1\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot1=4-4=0$$
Delta wyszła równa \(0\), zatem to równanie będzie mieć tylko jedno rozwiązanie:
$$a=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanego wyniku.
Musimy jeszcze sprawdzić, czy otrzymany wynik nie wyklucza się z założeniami. W tym przypadku tak nie jest, bo wynik wyszedł inny niż \(-\frac{1}{2}\), zatem rozwiązaniem tego równania jest \(a=1\).