Zadanie 3 Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2022 — zadania z rozwiązaniami

Dla przypomnienia - jeżeli logarytm nie ma zapisanej podstawy (a tak jest w naszym przypadku), to domyślnie podstawa logarytmu wynosi \(10\). Czyli przykładowo \(log3=log_{10}2\).

I sposób - zaczynając od obliczenia sumy logarytmów.
Do zadania możemy podejść na różne sposoby. Przykładowo, korzystając z działań na potęgach możemy obliczyć sumę logarytmów podanych w treści zadania:
$$log3+log2=log(3\cdot2)=log6$$

Liczba dwukrotnie większa od \(log6\) to \(2\cdot log6\). Przenosząc teraz dwójkę stojącą przed logarytmem do wykładnika potęgi liczby logarytmowanej, wyjdzie nam, że:
$$2log6=log6^2=log36$$

II sposób - zaczynając od wymnożenia logarytmów przez \(2\).
Możemy też zapisać, że liczba dwukrotnie większa od \(log3+log2\) to:
$$2\cdot(log3+log2)=2log3+2log2$$

Teraz, korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$log3^2+log2^2=log9+log4$$

Aby dodać do siebie dwa logarytmy o tej samej podstawie, wystarczy wymnożyć liczby logarytmowane, stąd też:
$$log9+log4=log(9\cdot4)=log36$$