Zadanie 22 Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2019 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Dostrzeżenie, że trójkąt \(BCS\) jest prostokątny.
Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie tego, iż trójkąt \(BCS\) jest prostokątny (gdzie \(|\sphericalangle BCS|=90°\). Skąd to wiemy, skoro z rysunku takiej informacji nie możemy odczytać? Obliczmy długości poszczególnych boków tego trójkąta.

Długość boku \(CS\):
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(DCS\). Dolna przyprostokątna ma długość \(|DC|=4\), boczna przyprostokątna ma długość \(|DS|=3\), zatem z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
$$4^2+3^2=|CS|^2$$ $$16+9=|CS|^2$$ $$|CS|^2=25$$ $$|CS|=5 \quad\lor\quad |CS|=-5$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. W związku z tym \(|CS|=5\).

Długość boku \(BS\):
Spójrzmy na trójkąt \(BDS\). Dolna przyprostokątna to będzie przekątna naszego kwadratu znajdującego się w podstawie, czyli \(|BD|=4\sqrt{2}\). Boczna przyprostokątna ma długość \(|DS|=3\). W związku z tym:
$$3^2+(4\sqrt{2})^2=|BS|^2$$ $$9+16\cdot2=|BS|^2$$ $$9+32=|BS|^2$$ $$|BS|^2=41$$ $$|BS|=\sqrt{41} \quad\lor\quad |BS|=-\sqrt{41}$$

Ujemny wynik odrzucamy, zatem zostaje nam \(|BS|=\sqrt{41}\).

W tym momencie znamy długości trzech boków naszego trójkąta \(BCS\):
$$|BC|=4$$ $$|CS|=5$$ $$|BS|=\sqrt{41}$$

Aby udowodnić, że jest to trójkąt prostokątny, skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa. Boki \(BC\) oraz \(CS\) to przyprostokątne, natomiast \(BS\) to przeciwprostokątna naszego trójkąta. W związku z tym:
$$|BC|^2+|CS|^2=|BS|^2$$ $$4^2+5^2=(\sqrt{41})^2$$ $$16+25=41$$ $$41=41$$ $$L=P$$

Skoro lewa strona równania jest równa prawej, to możemy być pewni, że trójkąt \(BCS\) jest trójkątem prostokątnym.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(BCS\).
Skoro jest to trójkąt prostokątny i znamy miary przyprostokątnych tego trójkąta, to obliczenie pola powierzchni jest już tylko formalnością:
$$P=\frac{1}{2}ah$$ $$P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot5$$ $$P=2\cdot5$$ $$P=10$$