Zadanie 21 Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2019 — zadania z rozwiązaniami

Tak prawdę mówiąc, to można tutaj wskazać prawidłową odpowiedź bez żadnych większych obliczeń. Patrząc się na to zadanie tak analitycznie, to podzielna przez \(6\) jest co szósta liczba. Liczb dwucyfrowych jest \(90\). W takim razie nie ma szans by liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(6\) było aż \(30\), \(45\), czy \(60\). Spodziewamy się, że tych liczb jest około \(15\), bo \(90:6=15\). Co prawda takie liczenie może być czasem złudne i trzeba byłoby się zastanowić czy tych liczb jest dokładnie \(15\) (bo mogą się one różnie ułożyć), ale na tym wstępnym etapie rozwiązywania jesteśmy w stanie powiedzieć, że tych liczb jest \(15\), może \(14\), może \(16\).

Ta prosta analiza umożliwiała zaznaczenie poprawnej odpowiedzi dosłownie w kilka sekund. Gdyby jednak pojawiły się tutaj inne liczby lub nieco inne odpowiedzi, to trzeba byłoby podejść do tego w sposób bardziej matematyczny, korzystając z wiadomości na temat ciągów arytmetycznych.

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Liczby podzielne przez \(6\) tworzą ciąg arytmetyczny w którym \(r=6\). Musimy się jeszcze tylko zastanowić jaki jest pierwszy wyraz naszego ciągu. Skoro mają to być liczby dwucyfrowe, to najmniejszą liczbą dwucyfrową podzielną przez \(6\) jest \(12\). Zatem możemy przyjąć, że \(a_{1}=12\).

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie nierówności.
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). Za pomocą tego wzoru spróbujemy określić ile wyrazów naszego ciągu jest mniejszych od \(100\). Musimy zatem rozwiązać następującą nierówność:
$$a_{1}+(n-1)r\lt100$$

Podstawiając \(a_{1}=12\) oraz \(r=6\) otrzymamy:
$$12+(n-1)\cdot6\lt100$$ $$12+6n-6\lt100$$ $$6n+6\lt100$$ $$6n\lt94$$ $$n\lt15\frac{2}{3}$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
W ciągach nasze \(n\) jest zawsze liczbą naturalną, zatem moglibyśmy zapisać, że nasza nierówność spełniania jest przez \(n\in\{1,2,3,...,13,14,15\}\). To oznacza, że mamy \(15\) liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(6\).