📄 Treść zadania
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), w którym \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=2016\) oraz \(a_{5}+a_{6}+a_{7}+...+a_{12}=2016\). Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu \((a_{n})\).
W tym zadaniu posłużymy się wzorem na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego.
$$S_{n}=\frac{2\cdot a_{1}+(n-1)\cdot r}{2}\cdot n$$
Krok 1. Stworzenie odpowiedniego układu równań.
Pod wypisany przed chwilą wzór podstawmy dane z zadania, tworząc z nich układ równań:
\begin{cases} S_{4}=2016 \\ S_{12}=2016+2016 \end{cases}
Ustalmy skąd wiemy, że \(S_{12}=2016+2016\). Z treści zadania wynika, że suma pierwszych czterech wyrazów jest równa \(2016\) i suma od piątego do dwunastego wyrazu jest także równa \(2016\). Suma wszystkich dwunastu pierwszych wyrazów jest więc równa \(2016+2016=4032\).
Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań i wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego, czyli \(r\).
\begin{cases} 2016=\frac{2\cdot a_{1}+(4-1)\cdot r}{2}\cdot4 \\ 4032=\frac{2\cdot a_{1}+(12-1)\cdot r}{2}\cdot12 \end{cases}\begin{cases} 2016=\frac{2\cdot a_{1}+3r}{2}\cdot4 \\ 4032=\frac{2\cdot a_{1}+11r}{2}\cdot12 \end{cases}\begin{cases} 2016=4\cdot a_{1}+6r \quad\bigg/\cdot(-3) \\ 4032=12\cdot a_{1}+66r \end{cases}\begin{cases} -6048=-12\cdot a_{1}-18r \\ 4032=12\cdot a_{1}+66r \end{cases}
Dzięki sprytnemu mnożeniu przez \(-3\) pierwszego równania w tym układzie możemy teraz dodać te równania stronami. Oczywiście do rozwiązania tego układu można było też użyć metody podstawiania. Po dodaniu od siebie stron otrzymamy:
$$-2016=48r$$
$$r=-42$$
Krok 3. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{1}\).
Podstawiając \(r=-42\) do jednego z równań wyznaczymy wartość \(a_{1}\):
$$2016=4\cdot a_{1}+6r$$
$$2016=4\cdot a_{1}+6\cdot(-42)$$
$$2016=4\cdot a_{1}-252$$
$$2268=4\cdot a_{1}$$
$$a_{1}=567$$
Krok 4. Obliczenie liczby wszystkich wyrazów dodatnich tego ciągu.
Znając różnicę ciągu arytmetycznego oraz wartość pierwszego wyrazu możemy utworzyć prostą nierówność w której użyjemy wzory na \(n\)-ty wyraz ciągu. Dzięki niej dowiemy się ile wyrazów dodatnich ma ten ciąg, a ostatni wyraz będzie jednocześnie tym najmniejszym (bo skoro różnica wyszła ujemna to jest to ciąg malejący).
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$
Zatem:
$$a_{1}+(n-1)\cdot r\gt0$$
$$567+(n-1)\cdot(-42)\gt0$$
$$567+(-42n+42)\gt0$$
$$609-42n\gt0$$
$$-42n\gt-609$$
$$n\lt14\frac{1}{2}$$
(Pamiętaj o zmianie znaku podczas dzielenia przez liczbę ujemną!)
Skoro \(n\) musi być mniejsze od \(14\frac{1}{2}\), to nasz ciąg ma \(14\) dodatnich wyrazów, a ostatnim (i tym samym najmniejszym) dodatnim wyrazem tego malejącego ciągu będzie \(a_{14}\).
Krok 5. Obliczenie wartości czternastego wyrazu ciągu.
Wartość najmniejszego wyrazu tego ciągu jest równa:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$
$$a_{14}=567+(14-1)\cdot(-42)$$
$$a_{14}=567+13\cdot(-42)$$
$$a_{14}=567-546$$
$$a_{14}=21$$