📄 Treść zadania
Rozwiąż równanie \(\frac{2x+1}{2x}=\frac{2x+1}{x+1}\), gdzie \(x\neq-1\) i \(x\neq0\).
Krok 1. Wymnożenie wyrazów "na krzyż".
Rozwiązywanie tego typu równań najprościej jest rozpocząć od wymnażania na krzyż, zatem:
$$\frac{2x+1}{2x}=\frac{2x+1}{x+1}$$
$$(2x+1)\cdot(x+1)=(2x)\cdot(2x+1)$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Teraz możemy rozwiązać to równanie na dwa sposoby:
I sposób: Przenosząc wyrazy z prawej strony na lewą i jednocześnie dostrzegając, że całość da się zapisać w postaci iloczynowej.
Otrzymamy wtedy:
$$(2x+1)\cdot(x+1)-(2x)\cdot(2x+1)=0$$
$$(2x+1)(x+1-2x)=0$$
$$(2x+1)(-x+1)=0$$
$$2x+1=0 \quad\lor\quad -x+1=0$$
$$x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=1$$
II sposób: Wymnażając przez siebie poszczególne wyrazy i rozwiązując powstałe równanie kwadratowe.
$$2x^2+2x+x+1=4x^2+2x$$
$$-2x^2+x+1=0$$
Współczynniki: \(a=-2,\;b=1,\;c=1\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot(-2)\cdot1=1-(-8)=1+8=9$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-3}{2\cdot(-2)}=\frac{-4}{-4}=1$$
$$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+3}{2\cdot(-2)}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$$
Krok 3. Sprawdzenie, czy rozwiązania nie wykluczają się z założeniami.
Na koniec jeszcze sprawdzamy, czy nasze rozwiązania nie wykluczają się z założeniami z treści zadania. To wbrew pozorom ważny punkt, bo czasem może być tak, że dane rozwiązanie trzeba będzie odrzucić. W naszym przypadku niczego odrzucać nie musimy, tak więc ostatecznie równanie ma dwa rozwiązania:
$$x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=1$$