📄 Treść zadania
Rozwiąż równanie \(\frac{x+8}{x-7}=2x\)
Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\) to nasz mianownik musi być różny od zera i właśnie z tego względu, musimy zapisać założenia do równania. W związku z tym:
$$x-7\neq0$$
$$x\neq7$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Wymnażając obydwie strony równania przez \(x-7\), otrzymamy:
$$\frac{x+8}{x-7}=2x \quad\bigg/\cdot(x-7)$$
$$x+8=2x^2-14x$$
$$-2x^2+15x+8=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Podczas rozwiązywania powstało nam równanie kwadratowe, które możemy rozwiązać tradycyjną metodą delty.
Współczynniki: \(a=-2,\;b=15,\;c=8\)
$$Δ=b^2-4ac=15^2-4\cdot(-2)\cdot8=225-(-64)=225+64=289$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{289}=17$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-15-17}{2\cdot(-2)}=\frac{-32}{-4}=8$$
$$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-15+17}{2\cdot(-2)}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$$
Obydwa rozwiązania nie wykluczają się z naszymi założeniami, zatem obydwa równania są poprawne, czyli \(x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=8\).