📄 Treść zadania
W ciągu ośmiu dni rowerzysta pokonał trasę \(236km\). Poczynając od drugiego dnia, przejeżdżał codziennie o \(3km\) mniej niż w dniu poprzednim. Ile kilometrów przejechał pierwszego dnia, a ile - ósmego? Zapisz obliczenia.
Krok 1. Dostrzeżenie ciągu arytmetycznego.
Idea tego zadania polega na tym, by dostrzec iż mamy tutaj styczność z ciągiem arytmetycznym. Zapiszmy kluczowe parametry tego ciągu, które wynikają z treści zadania.
Skoro każdego dnia pokonywana trasa jest o \(3km\) krótsza, to na pewno \(r=-3\). Wiemy też, że podroż trwała \(8\) dni, zatem \(n=8\). I na koniec możemy jeszcze zapisać, że suma tych wszystkich pokonanych tras przez \(8\) dni była równa \(236km\), czyli że \(S_{8}=236\).
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Aby obliczyć wartość pierwszego wyrazu, czyli \(a_{1}\), skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Podstawiając do tego wzoru wypisane przed chwilą dane otrzymamy:
$$S_{8}=\frac{2a_{1}+(8-1)\cdot(-3)}{2}\cdot8$$
$$236=\frac{2a_{1}+7\cdot(-3)}{2}\cdot8$$
$$236=\frac{2a_{1}-21}{2}\cdot8$$
$$236=(2a_{1}-21)\cdot4$$
$$2a_{1}-21=59$$
$$2a_{1}=80$$
$$a_{1}=40$$
To oznacza, że pierwszego dnia rowerzysta pokonał trasę \(40km\).
Krok 3. Obliczenie wartości ósmego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Musimy jeszcze obliczyć długość pokonanej trasy ósmego dnia. W tym celu pomoże nam wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Podstawiając \(a_{1}=40\), \(r=-3\) oraz \(n=8\) (bo szukamy wartości ósmego wyrazu) otrzymamy:
$$a_{8}=a_{1}+(8-1)r$$
$$a_{8}=a_{1}+7r$$
$$a_{8}=40+7\cdot(-3)$$
$$a_{8}=40-21$$
$$a_{8}=19$$
To oznacza, że ósmego dnia rowerzysta pokonał trasę \(19km\).