Krok 1. Obliczenie pola powierzchni podstawy ostrosłupa.
Musimy sobie ustalić jaka to figura znajduje się w podstawie naszej bryły. Skoro jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny, to w podstawie znajduje się trójkąt równoboczny. Podaną mamy też długość boku tego trójkąta i jest ona równa \(6\). Policzenie pola podstawy jest więc bardzo proste, bo skoro jest to trójkąt równoboczny to skorzystamy z następującego wzoru:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
$$P_{p}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}$$
$$P_{p}=9\sqrt{3}$$
Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Znamy pole powierzchni podstawy, znamy też objętość naszej bryły, więc policzymy wysokość ostrosłupa. Przyda nam się ona w późniejszych krokach do wyznaczenia długości ściany bocznej.
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$
$$27\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot H$$
$$27\sqrt{3}=3\sqrt{3}\cdot H$$
$$H=9$$
Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AD\) oraz \(|OD|\).
Spójrzmy teraz na rysunek i na trójkąt \(ODS\). Długość odcinka \(SO\) obliczyliśmy przed chwilą. Musimy jeszcze obliczyć długość odcinka \(OD\) i wtedy z Twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy wysokość ściany bocznej.
Z własności trójkąta równobocznego wiemy, że odcinek \(OD\) jest równy \(\frac{1}{3}\) długości wysokości trójkąta.
Wysokość trójkąta, czyli bok \(|AD|\) jest równy:
$$|AD|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
$$|AD|=\frac{6\sqrt{3}}{2}$$
$$|AD|=3\sqrt{3}$$
Tak więc \(|OD|=\frac{1}{3}\cdot3\sqrt{3}=\sqrt{3}\).
Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Teraz bez przeszkód możemy obliczyć wysokość trójkąta w ścianie bocznej:
$$a^2+b^2=c^2$$
$$|SO|^2+|OD|^2=|SD|^2$$
$$9^2+(\sqrt{3})^2=|SD|^2$$
$$81+3=|SD|^2$$
$$|SD|=\sqrt{84}=\sqrt{4\cdot21}=2\sqrt{21}$$
Krok 5. Obliczenie pola powierzchni ściany bocznej.
Obliczmy teraz pole pojedynczej ściany bocznej naszego ostrosłupa:
$$P_{b}=\frac{1}{2}a\cdot h$$
$$P_{b}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot2\sqrt{21}$$
$$P_{b}=6\sqrt{21}$$
Krok 6. Obliczenie pola całkowitego ostrosłupa.
$$P_{c}=P_{p}+3\cdot P_{b}$$
$$P_{c}=9\sqrt{3}+3\cdot6\sqrt{21}$$
$$P_{c}=9\sqrt{3}+18\sqrt{21}$$
Otrzymana postać jest chyba najlepszą możliwą do otrzymania. Alternatywnie moglibyśmy zapisać to jako \(P_{c}=9\sqrt{3}\cdot(1+2\sqrt{7})\) lub też obliczyć przybliżenie tej liczby jako \(\approx98,07\).
