📄 Treść zadania
Trasę etapu wyścigu kolarskiego o długości \(150km\) pan Nowak pokonał w czasie o \(1\) godzinę i \(50\) minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości, z jaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o \(11km/h\) większa od średniej wartości prędkości pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz średnie wartości prędkości, z jakimi przejechali całą trasę obaj zawodnicy.
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania i ułożenie z nich układu równań.
\(v\) - średnia prędkość Nowaka (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas jazdy Nowaka (w godzinach)
\(v-11\) - średnia prędkość Kowalskiego (bo jest o \(11\frac{km}{h}\) mniejsza od Nowaka}
\(t+\frac{11}{6}\) - czas jazdy Kowalskiego (bo jest o \(110\) minut dłuższy od czasu Nowaka, a \(110\) minut to \(\frac{11}{6}\) godziny)
\(s=150\) - długosć trasy (w kilometrach)
Do ułożenia układu równań skorzystamy ze wzoru:
$$v=\frac{s}{t} \quad\Rightarrow\quad s=vt$$
\begin{cases} 150=vt \\ 150=(v-11)\cdot(t+\frac{11}{6}) \end{cases}
Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Z pierwszego równania wychodzi nam, że \(t=\frac{150}{v}\). Podstawiając tę wartość do drugiego równania otrzymamy:
$$\require{cancel}
150=(v-11)\cdot\left(\frac{150}{v}+\frac{11}{6}\right) \quad\bigg/\cdot 6v$$
$$900v=(v-11)\cdot(900+11v)$$
$$\cancel{900v}=\cancel{900v}+11v^2-9900-121v$$
$$11v^2-121v-9900=0 \quad\bigg/:11$$
$$v^2-11v-900=0$$
Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-11,\;c=-900\)
$$Δ=b^2-4ac=(-11)^2-4\cdot1\cdot(-900)=121-(-3600)=121+3600=3721$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{3721}=61$$
$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-11)-61}{2\cdot1}=\frac{11-61}{2}=\frac{-50}{2}=-25$$
$$v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-11)+61}{2\cdot1}=\frac{11+61}{2}=\frac{72}{2}=36$$
Krok 4. Interpretacja wyników i obliczenie prędkości jazdy pana Nowaka i Kowalskiego.
Ujemną prędkość musimy odrzucić, stąd też zostaje nam jedynie \(v=36\frac{km}{h}\) i jest to zgodnie z naszymi oznaczeniami prędkość pana Nowaka. Pozostaje nam jeszcze do obliczenia prękość pana Kowalskiego, która wyniesie:
$$36\frac{km}{h}-11\frac{km}{h}=25\frac{km}{h}$$