📄 Treść zadania
Kąt \(α\) jest ostry i \(cosα=\frac{\sqrt{7}}{4}\). Oblicz wartość wyrażenia \(2+sin^3α+sinα\cdot cos^2α\).
Krok 1. Obliczenie wartości sinusa.
Skorzystamy tutaj z jedynki trygonometrycznej:
$$sin^2α+cos^2α=1$$
$$sin^2α+\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2=1$$
$$sin^2α+\frac{7}{16}=1$$
$$sin^2α=\frac{9}{16}$$
$$sinα=\sqrt{\frac{9}{16}} \quad\lor\quad sinα=\sqrt{\frac{9}{16}}$$
$$sinα=\frac{3}{4} \quad\lor\quad sinα=-\frac{3}{4}$$
Wartość ujemną odrzucamy, bo dla kątów ostrych sinus przyjmuje wartości dodatnie. Zostaje nam więc \(sinα=\frac{3}{4}\).
Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia.
Znając wartości sinusa i cosinusa możemy oczywiście od razu przystąpić do podstawiania tych wartości do naszego wyrażenia. Jednak zamiast wykonywania tych długich obliczeń moglibyśmy się pokusić o uproszczenie całego wyrażenia, wyłączając przed nawias wartość \(sinα\). Nie jest to rzecz obowiązkowa, ale jak się za chwilę okaże - znacznie upraszcza to wszystkie rachunki.
$$2+sin^3α+sinα\cdot cos^2α=$$
$$=2+sinα\cdot(sin^2α+cos^2α)=$$
$$=2+sinα\cdot1=2+sinα$$
Znając wartość sinusa możemy już bez przeszkód podać wynik tego zadania:
$$2+sinα=2+\frac{3}{4}=2\frac{3}{4}$$