📄 Treść zadania
Wartość wyrażenia \((tg\alpha-tg^2\alpha)\cdot cos\alpha\) dla kąta ostrego \(\alpha\), dla którego \(sin\alpha=\frac{3}{5}\), wynosi:
A
\(\frac{16}{25}\)
B
\(\frac{3}{10}\)
C
\(\frac{3}{20}\)
D
\(\frac{1}{10}\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(cosα\).
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\) w związku z tym podstawiając wartość sinusa otrzymamy:
$$sin^2α+cos^2α=1$$
$$\left(\frac{3}{5}\right)^2+cos^2α=1$$
$$\frac{9}{25}+cos^2α=1$$
$$cos^2α=\frac{16}{25}$$
$$cosα=\sqrt{\frac{16}{25}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{16}{25}}$$
$$cosα=\frac{4}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{4}{5}$$
Wartość ujemną cosinusa odrzucamy, bo dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie. Zostaje nam więc \(cosα=\frac{4}{5}\).
Krok 2. Obliczenie wartości \(tgα\).
Znamy wartość sinusa oraz cosinusa, zatem możemy bez problemu obliczyć tangensa:
$$tgα=\frac{sinα}{cosα}$$
$$tgα=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}$$
$$tgα=\frac{3}{5}:\frac{4}{5}$$
$$tgα=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{4}$$
$$tgα=\frac{3}{4}$$
Krok 3. Obliczenie wartości wyrażenia.
Na koniec musimy podstawić obliczone wartości do wyrażenia z treści zadania, otrzymując:
$$\left(\frac{3}{4}-\left(\frac{3}{4}\right)^2\right)\cdot\frac{4}{5}=$$
$$=\left(\frac{3}{4}-\frac{9}{16}\right)\cdot\frac{4}{5}=$$
$$=\left(\frac{12}{16}-\frac{9}{16}\right)\cdot\frac{4}{5}=$$
$$=\frac{3}{16}\cdot\frac{4}{5}=\frac{3}{20}$$