📄 Treść zadania
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(10n^2+30n+8\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(3\).
Kluczem do sukcesu będzie rozbicie liczby \(8\) na sumę \(5+3\). To pozwoli nam wyłączyć wspólny czynnik równy \(5\) z podanego wyrażenia. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$10n^2+30n+8=$$
$$=10n^2+30n+5+3=$$
$$=5\cdot(2n^2+6n+1)+3$$
Wartość \(2n^2+6n+1\) jest na pewno dodatnią liczbą całkowitą, ponieważ mamy tutaj same liczby naturalne, które są do siebie dodawane. To oznacza, że dzieląc liczbę \(10n^2+30n+8\) przez \(5\) otrzymamy właśnie \(2n^2+6n+1\), a stojąca na końcu liczba \(3\) to reszta z tego dzielenia, co należało udowodnić.