📄 Treść zadania
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=3n-1\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Zadanie 1. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Ciąg \((a_{n})\) jest:
A. rosnący,
B. malejący,
C. stały,
ponieważ dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\)
1. \(a_{n+1}-a_{n}=-1\)
2. \(a_{n+1}-a_{n}=0\)
3. \(a_{n+1}-a_{n}=3\)
Zadanie 2. Najmniejszą wartością \(n\), dla której wyraz \((a_{n})\) jest większy od \(25\), jest:
A. \(8\)
B. \(9\)
C. \(7\)
D. \(26\)
Zadanie 3. Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu \(a_{n}\) jest równa \(57\) dla \(n\) równego:
A. \(6\)
B. \(23\)
C. \(5\)
D. \(11\)
Odpowiedź 1.
Już po samym wzorze widać, że jest to ciąg rosnący, ponieważ mamy klasyczny wzór ciągu arytmetycznego, a liczba stojąca przed \(n\) to różnica ciągu, czyli tutaj \(r=3\). Możemy jednak standardowo ustalić monotoniczność, tak jak jest to wskazane w sugerowanych odpowiedziach, czyli obliczając różnicę \(a_{n+1}-a_{n}\). Skoro tak, to:
$$a_{n+1}-a_{n}=3(n+1)-1-(3n-1)=3n+3-1-3n+1=3$$
Otrzymaliśmy dodatni wynik, a to oznacza, że ciąg jest rosnący, ponieważ \(a_{n+1}-a_{n}=3\).
Odpowiedź 2.
Chcemy sprawdzić kiedy wartość wyrazów tego ciągu jest większa od \(25\), czyli musimy sprawdzić kiedy \(3n-1\) jest większe od \(25\). Zatem:
$$3n-1\gt25 \ ,\
3n\gt26 \ ,\
n\gt8\frac{2}{3}$$
W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, a najmniejszą liczbą naturalną od \(8\frac{2}{3}\) jest \(9\).
Odpowiedź 3.
Krok 1. Podstawienie danych do wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Wiemy już, że nasz ciąg jest arytmetyczny, a skoro tak, to możemy w tym zadaniu skorzystać ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Do tego wzoru potrzebujemy podstawić \(r\) i ustaliliśmy już, że \(r=3\). Oprócz tego musimy obliczyć jeszcze \(a_{1}\), zatem podstawiając do wzoru \(n=1\), otrzymamy:
$$a_{1}=3\cdot1-1 \ ,\
a_{1}=3-1 \ ,\
a_{1}=2$$
To oznacza, że:
$$57=\frac{2\cdot2+(n-1)\cdot3}{2}\cdot n \ ,\
57=\frac{4+3n-3}{2}\cdot n \ ,\
57=\frac{3n+1}{2}\cdot n \ ,\
114=(3n+1)\cdot n \ ,\
114=3n^2+n \ ,\
3n^2+n-114=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam do rozwiązania równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=3,\;b=1,\;c=-114\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot3\cdot(-114)=1-(-1368) \ ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1369}=37$$
$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-37}{2\cdot3}=\frac{-38}{6}=-6\frac{1}{3} \ ,\
n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+37}{2\cdot3}=\frac{36}{6}=6$$
W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, zatem zostaje nam jedynie \(n=6\) i taka też będzie odpowiedź do tego zadania.